Bài tập 8. Cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là A(1; 1), B(7; 3), C(4; 7) và cho các điểm M(2 ;...

Phương pháp giải:
a) Để chứng minh bốn điểm A, M, N, C thẳng hàng, ta cần chứng minh vectơ $\overrightarrow{AC}$ bằng $\alpha$ vectơ $\overrightarrow{AM}$ cộng với $\beta$ vectơ $\overrightarrow{AN$ với $\alpha + \beta = 1$. Sau đó, sử dụng định lý thứ nhất về tọa độ để chứng minh bốn điểm thẳng hàng.
b) Để chứng minh trọng tâm của tam giác ABC và MNB trùng nhau, ta cần chứng minh vectơ $\overrightarrow{MG}$ bằng vectơ $\overrightarrow{MG'$ (G là trọng tâm của tam giác ABC, G' là trọng tâm của tam giác MNB). Chứng minh này có thể dựa trên tính chất trọng tâm chung của hai tam giác.

Câu trả lời:
a) Ta có:
$\overrightarrow{AC}$ = (4-1 ; 7-1) = (3; 6),
$\overrightarrow{AM}$ = (2-1 ; 3-1) = (1; 2),
$\overrightarrow{AN}$ = (3-1 ; 5-1) = (2; 4).
Ta thấy $\overrightarrow{AC}$ = 3$\overrightarrow{AM}$ = $\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AN}$.
Vậy bốn điểm A, M, N, C thẳng hàng.

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, G' là trọng tâm của tam giác MNB. Ta có:
$\overrightarrow{MG}$ = $\frac{1}{3}$($\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{AC}$) = $\frac{1}{3}$((7-1; 3-1) + (4-1; 7-1)) = (4; 6),
$\overrightarrow{M'N'}$ = $\frac{1}{3}$($\overrightarrow{MN}$ + $\overrightarrow{MB}$) = $\frac{1}{3}$((3-2; 5-3) + (7-3; 3-5)) = (2; 3).

Vậy trọng tâm của tam giác ABC và trọng tâm của tam giác MNB trùng nhau là điểm G (4; 6).