Bài 6.a) Chứng minh trong một tam giác, đường cao không lớn hơn đường trung tuyến xuất phát...
Câu hỏi:
Bài 6.
a) Chứng minh trong một tam giác, đường cao không lớn hơn đường trung tuyến xuất phát từ một đỉnh.
b) Chứng minh trong một tam giác, đường cao không lớn hơn đường phân giác xuất phát từ một đỉnh.
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Thị Việt
Phương pháp giải:a) Ta có tam giác ABC. Vẽ đường cao AH và đường trung tuyến AM từ đỉnh A xuất phát. Gọi O là trung điểm của BC. Khi đó, ta có:- AM là đường trung tuyến nên AM = 1/2 BC (do trung tuyến chia đoạn thẳng đôi).- Gọi H' là hình chiếu của A trên đường trung tuyến AM. Theo tính chất của đường cao, AH' vuông góc với BC nên ta có:AH' < AH.- Khi đó, ta có tam giác AH'M vuông tại H'. Áp dụng định lí Pythagore, ta có:AH' < AM $\Rightarrow$ AH' < 1/2 BC.- Lại có AM = 1/2 BC, từ đó suy ra AH' < AM.- Từ đó, ta có AH $\leq $ AM.b) Ta cũng có tam giác ABC. Vẽ đường cao AH và đường phân giác AD từ đỉnh A xuất phát. Gọi I là giao điểm của AD và BC. Khi đó, ta có:- Gọi E là hình chiếu của A trên BC. Theo tính chất của đường cao, AH vuông góc với BC nên ta có:AH < AE.- Khi đó, ta có tam giác ADE vuông tại E. Áp dụng định lí Pythagore, ta có:AH < AE $\Rightarrow$ AH < AD.- Từ đó, ta có AH $\leq $ AD.Vậy chúng ta đã chứng minh được cả hai phần trong câu hỏi.
Câu hỏi liên quan:
- BÀI TẬPBài 1. Cho tam giác ABC có $\widehat{A}=\widehat{B}+\widehat{C}$. Hai đường phân giác của...
- Bài 2. Cho tam giác ABC có M là điểm đồng quy của ba đường phân giác. Qua M vẽ đường thẳng song...
- Bài 3. Cho tam giác ABC có M là giao điểm của hai phân giác của góc B và góc C. Cho biết...
- Bài 4. Cho tam giác ABC có AB > AC. Trên tia đối của tia BC lấy M so cho BM = BA. TRên tia đối...
- Bài 5. Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại O. Tìm điểm M sao cho MA + MB + MC + MD nhỏ nhất.
- Bài 7. Cho tam giác ABC có ba đường phân giác AD, BE, CF đồng quy tại I. Vẽ IH vuông góc với BC tại...
- Bài 8. Cho tam giác ABC cân tại A và cho $\widehat{A}=124^{\circ}$. Vẽ đường cao BH và phân giác BK...
- Bài 9. Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Chứng minh AH là đường...
- Bài 10. Cho tam giác nhọn ABC. Hãy nêu cách tìm các điểm sau đây bên trong tam giác ABC.a) Điểm M...
b) Chứng minh: Gọi tam giác ABC có đường cao AH và đường phân giác AD đi qua điểm H và D lần lượt. Áp dụng định lí hình học, ta có AH = 2(AB.AC)/(AB+AC)sinB và AD = AB.sinC = 2(AB.AC)/(AB+AC)sinC. Ta cần chứng minh AH không lớn hơn AD. Rút gọn và so sánh 2 giá trị để chứng minh điều cần chứng minh.
a) Chứng minh: Gọi tam giác ABC có đường cao AH, đường trung tuyến AM đi qua điểm H và M lần lượt. Áp dụng định lí hình học, ta có AM = 1/2(AC^2 + BC^2 - AB^2)/(AC) và AH = AC.sinB. Ta cần chứng minh AC.sinB không lớn hơn 1/2(AC^2 + BC^2 - AB^2)/(AC). Tiếp tục thay các giá trị vào và rút gọn, ta chứng minh đường cao không lớn hơn đường trung tuyến.
b) Chứng minh: Gọi tam giác ABC có đường cao AH và đường phân giác AD đi qua điểm H và D lần lượt. Ta cần chứng minh AH không lớn hơn AD. Áp dụng định lí cosin, ta có AH = AC.cosB và AD = AB.AK/AB = AK, với K là giao điểm của phân giác và cạnh đối với nó. Ta cần chứng minh AC.cosB không lớn hơn AK. Rút gọn và so sánh 2 giá trị để chứng minh điều cần chứng minh.
a) Chứng minh: Gọi tam giác ABC có đường cao AH, đường trung tuyến AM đi qua điểm H và M lần lượt. Áp dụng định lí cosin, ta có AM = (AB^2 + AC^2 - BC^2)/(2.AB) và AH = AC.cosB. Ta cần chứng minh AC.cosB không lớn hơn (AB^2 + AC^2 - BC^2)/(2.AB). Tiếp tục thay các giá trị vào và rút gọn, ta chứng minh đường cao không lớn hơn đường trung tuyến.
b) Chứng minh: Gọi tam giác ABC có đường cao AH và đường phân giác AD đi qua điểm H và D lần lượt. Ta cần chứng minh AH không lớn hơn AD. Áp dụng định lí sinus ta có AH = AC.sinB. Ta cần chứng minh AC.sinB không lớn hơn AD. Áp dụng định lí phân giác, ta có AD = (AB.AC)/(AB+BC). Áp dụng công thức sinB = (AC.sinA)/(BC) ta có AC.sinB = AB.AC.sinA/(BC). So sánh AC.sinB và AD ta được điều phải chứng minh.