7.17.Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(–3; 0), B(1; –2) và đường thẳng d: x + y – 1 = ...

Phương pháp giải:

a) Để chứng minh hai điểm A và B nằm cùng phía so với đường thẳng d, ta chỉ cần xem xét dấu của biểu thức (-3 + 0 - 1)(1 - 2 - 1) = 8. Vì dấu là dương nên hai điểm A và B nằm cùng phía so với đường thẳng d.

b) Để tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác ABM, ta cần tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho MA + MB là nhỏ nhất.

Đặt M(t; 1 - t) với t là tham số. Chu vi tam giác ABM sẽ là AB + MA + MB. Vì AB là đoạn thẳng cố định nên để chu vi là nhỏ nhất cần tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho MA + MB là nhỏ nhất.

Để tìm điểm M thỏa mãn điều kiện trên, ta thực hiện các bước sau:
- Đối xứng điểm A qua đường thẳng d để có điểm A'.
- Tìm hình chiếu vuông góc của A lên d (điểm H).
- Tọa độ điểm H sẽ là điểm chia tỉ lệ của AA' theo tỉ lệ 2:1.
- Tìm ra toạ độ của điểm A'.
- Từ đó, tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm A' và nằm trên d, gọi là A'B.
- Tìm giao điểm của đường thẳng A'B với d để có toạ độ điểm M là điểm thỏa mãn yêu cầu.

Kết quả: Chu vi nhỏ nhất của tam giác ABM là 5 + \\sqrt{5} đơn vị.