7.15.Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(2; –1), B(2; –2) và C(0; –1).a)Tính độ...

a) Để tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ A, ta cần tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC. Đường thẳng BC có vector pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(1;2)$ và đi qua điểm B(2; –2). Phương trình tổng quát của đường thẳng BC là $x + 2y + 2 = 0$.

Tính khoảng cách từ A đến BC dựa trên phương trình trên, ta có:
$d(A,BC)=\frac{|2+2\times(-1)+2|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$

Vậy độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ A là $\frac{2}{\sqrt{5}}$.

b) Độ dài cạnh BC của tam giác ABC là $BC = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{5}$. Diện tích tam giác ABC được tính bằng công thức $S_{ABC}=\frac{1}{2}d(A;BC)\times BC=\frac{1}{2}\times\frac{2}{\sqrt{5}}\times\sqrt{5}=1$.

Vậy diện tích tam giác ABC là 1.

c) Tính độ dài các cạnh AB, AC và BC như trên ta được AB=1, AC=2 và BC=$\sqrt{5}$. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC được tính bằng công thức $r=\frac{S_{ABC}}{p}=\frac{1}{\frac{1+\sqrt{5}+2}{2}}=\frac{2}{3+\sqrt{5}}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.