4. Cho phương trình$x^{2}-2(m+1)x+m^{2}+m=0$a, Tìm các giá trị của m để phương trình có hai...

Phương pháp giải:

4.
a. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần tính $\Delta' =(m+1)^{2}-m^{2}-m=m+1$.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $m + 1 > 0 \Rightarrow m > -1$

b. Theo định lí Vi-ét, ta có $x_1 + x_2 = 2(m + 1)$ và $x_1.x_2 = m^2 + m$.
Từ đó, $x_{1}^{2}+x_{2}^{2} = (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2} = [2(m+1)]^{2}-2(m^{2}+m)=4m^{2}+8m+4-2m^{2}-2m=2m^{2}+6m+4$
Và $|x_{1}^{2}-x_{2}^{2}| = |x_{1}+x_{2}|.|x_{1}-x_{2}| = |x_{1}+x_{2}|.\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}| = |2(m+1)|.\sqrt{4(m+1)^{2}-4(m^{2}+m)} = 4|m+1|\sqrt{m+1}$

5. Điều kiện có nghiệm: $\Delta' =(m-2)^{2}-4(m+5)\geq 0 \Rightarrow m^{2}-8m-16\geq 0$
Từ phương trình $x^{2}+(m-2)x+m+5=0$, ta có:
$x_{1}+x_{2}=2-m$ và $x_{1}.x_{2}=m+5$
Theo giả thiết $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=10$ $\Rightarrow (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=10 \Rightarrow (2-m)^{2}-2(m+5) = 10 \Rightarrow m^{2}-6m-16 = 0$

Giải phương trình với ẩn m: $\Delta' =3^{2}-(-16)=25 \Rightarrow \sqrt{\Delta' }=\sqrt{25}=5$
$m_1 = 3 + 5 = 8; m_2 = 3 - 5 = -2$
Thay $m_1 = 8$ và $m_2 = -2$ vào điều kiện $m^{2}-8m-16\geq 0$, ta thấy chỉ có $m_2 = -2$ thỏa mãn.

Vậy đáp án là:
a. $m > -1$
b. $m = -2$