1. Cho (O) có các dây AB và CD bằng nhau. Các tia AB, CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường...
Câu hỏi:
1. Cho (O) có các dây AB và CD bằng nhau. Các tia AB, CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:
a, EH = EK
b, EA = EC
2. Cho (O) các bán kính OA và OB. Trên cung nhỏ AB lấy các điểm M và N sao cho AM = BN. Gọi C là giao điểm của AM và BN. Chứng minh rằng:
a, OC là phân giác của góc AOB.
b, OC vuông góc với AB.
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Hồng Linh
1. a. Chứng minh EH = EK:Ta có trung điểm H của AB nên AH = HB. Tương tự, ta có trung điểm K của CD nên CK = KD.Vì AB = CD nên AH = CK.Xét tam giác EHO và tam giác EKO có:EH = EA + AH = EA + CK = EC + KD = EK=> EH = EK b. Chứng minh EA = EC:Vì OH vuông góc với AB nên OH đi qua trung điểm của AB, gọi là N, ta có AH = HB = AN = NB = 1/2 AB.Tương tự, với OK vuông góc với CD ta có CK = KD = CM = MD = 1/2 CD.Do đó, ta có AH = CK và EC = KD.Vì EH = EK và AH = CK => EA = EC 2.a. Chứng minh OC là phân giác của góc AOB:Kẻ OH vuông góc với AM và OK vuông góc với BN.Vì OH = OK và AM = BN nên ta có OHC ≅ OKC (theo nguyên lý góc cạnh bằng nhau).Do đó, ∠OHC = ∠OKC => OC là phân giác của góc AOB.b. Chứng minh OC vuông góc với AB:Vì OC là phân giác của góc AOB nên ∠AOB = 2∠COB.Nhưng góc ở tâm góc bằng góc nửa tròn nên ∠COB = 1/2 ∠AOB.Do đó, ∠COB = 1/2 ∠AOB = ∠OCA.Vậy, OC vuông góc với AB.
Câu hỏi liên quan:
2. Cách chứng minh b: Ta có AM = BN nên tam giác OAM và OBN đồng dạng với nhau. Do đó, góc OAM bằng góc OBN. Nhưng góc OBM là góc ở trung điểm của tam giác OAB, nên tam giác OBM bằng nhau với tam giác OAM. Suy ra OBM bằng OAM. Tương tự, OAN bằng OBN. Từ đó suy ra OBM cùng chiều với OAN, tức là OC vuông góc với AB.
2. Cách chứng minh a: Ta có OC là phân giác của góc AOB nên tam giác AOC và BOC đồng dạng với nhau. Do đó, OC chia đôi góc AOB, tức là OC là phân giác của góc AOB.
1. Cách chứng minh b: Ta có AH = HD và CH = HE (do H là trung điểm của AB và CK = KD và BK = KA (do K là trung điểm của CD). Vậy tam giác ACH và BKE là đồng dạng với nhau, suy ra góc ACH bằng góc BKE. Nhưng góc ACH cũng bằng góc ACE, nên góc ACE bằng góc BKE. Nhưng ACE là góc ở trung điểm của tam giác, nên tam giác ACE bằng nhau với tam giác BKE. Từ đó suy ra EA = EC.
1. Cách chứng minh a: Ta có H là trung điểm của AB nên EH song song với AB và có độ dài bằng nhau với nửa đường chéo AC của hình chữ nhật AHCE. Tương tự, K là trung điểm của CD nên EK song song với CD và có độ dài bằng nhau với nửa đường chéo AD của hình chữ nhật AHDE. Do đó, EH = EK.