Thực hành 2: Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiênn ≥ 3: 2n +...

Để chứng minh bất đẳng thức 2n + 1 > n^2 + n + 2 đối với mọi số tự nhiên n ≥ 3, ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp như sau:

Bước 1: Kiểm tra n = 3:
Khi n = 3, ta có: 2*3 + 1 = 7 > 3^2 + 3 + 2 = 14, bất đẳng thức đúng với n = 3.

Bước 2: Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 3, tức là 2k + 1 > k^2 + k + 2.

Bước 3: Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1:
Ta cần chứng minh 2(k + 1) + 1 > (k + 1)^2 + (k + 1) + 2.
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
2(k + 1) + 1 = 2k + 2 + 1 = (2k + 1) + 1 > (k^2 + k + 2) + 1 = k^2 + 2k + 3 > (k + 1)^2 + k + 2 = k^2 + 2k + 1 + k + 2 = (k + 1)^2 + k + 2.

Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Do đó, theo nguyên lý quy nạp toán học, bất đẳng thức 2n + 1 > n^2 + n + 2 đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 3.