Giải bài tập chuyên đề toán lớp 10 chân trời sáng tạo bài 2 hypebol

1. TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG HYPEBOL

Hoạt động khám phá 1: Cho hypebol (H) với phương trình chính tắc

$\frac{x^2}{a^2}$ + $\frac{y^2}{b^2}$=1 và điểm M(x0; y0) nằm trên (H). Các điểm M1(–x0; y0), M2(x0; –y0), M3(–x0; –y0) có thuộc (H) không?

Vận dụng 1: Khi bay với vận tốc siêu nhanh( tốc độ chuyển động lớn hơn tốc độ âm thanh trong cùng môi trường) một máy bay tạo ra một vùng nhiễu động trên mặt đất dọc theo một nhánh của hypebol. Phần nghe rõ nhất tiếng ồn của vùng nói trên được gọi là thảm nhiễu động. Bề rộng của thảm này gấp khoảng 5 lần cao độ của máy bay. Tính độ cao của máy bay, biết bề rộng của thảm nhiễu động được đo cách phía sau máy bay một khoảng 40mile dăm là đơn vị đo khoảng cách. 1mile= 1,6km và (H) có phương trình: $\frac{x^2}{400}$ - $\frac{y^2}{100}$=1

2. BÁN KÍNH QUA TIÊU

Hoạt động khám phá 2: Cho điểm M(x,y) nằm trên hypebol

(H): $\frac{x^2}{a^2}$ - $\frac{y^2}{b^2}$=1

a) Chứng minh rằng $F1M^2$ –$F2M^2$ = 4cx.

b) Giả sử điểm M(x; y) thuộc nhánh đi qua A1(–a; 0) (Hình 5a). Sử dụng kết quả đã chứng minh được ở câu a) kết hợp với tính chất MF2 – MF1 = 2a đã biết để chứng minh

F2 + MF1= -2$\frac{cx}{a}$

Từ đó, chứng minh các công thức: F1=-a-$\frac{c}{a}$

F2= a-$\frac{c}{a}$x

c, Giả sử điểm M(x; y) thuộc nhánh đi qua A2(a; 0) (Hình 5 b). Sử dụng kết quả đã chứng minh được ở câu a) kết hợp với tính chất MF1 – MF2 = 2a đã biết để chứng minh

F2 + MF1= . Từ đó, chứng minh các công thức: 

F1=a+$\frac{c}{a}$; 

F2= -a+$\frac{c}{a}$x

Thực hành 2: Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(x;y)  trên hypebol

(H): $\frac{x^2}{64}$ - $\frac{y^2}{36}$=1

Vận dụng 2: Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của đingr A2(a,0) trên hypebol 

 (H): $\frac{x^2}{a^2}$ + $\frac{y^2}{b^2}$=1

3. TÂM SAI

Hoạt động khám phá 3: Cho hypebol 

(H): (H): $\frac{x^2}{a^2}$ - $\frac{y^2}{b^2}$=1

Chứng tỏ rằng $\frac{c}{a}$ > 1

Thực hành 3: Tìm tâm sai của các hypebol sau:

a, (H1): $\frac{x^2}{4}$ + $\frac{y^2}{1}$=1

b, (H2): $\frac{x^2}{9}$ + $\frac{y^2}{25}$=1

c, (H3): $\frac{x^2}{3}$ + $\frac{y^2}{3}$=1

Vận dụng 3: Cho hypebol (H) có tâm sai bằng $\sqrt{2}$. Chứng minh trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau.

Vận dụng 4: Một vật thể có quỹ đạo là một nhánh của hypebol (H), nhận tâm Mặt Trời làm tiêu điểm (Hình 6). Cho biết tâm sai của (H) bằng 1,2 và khoảng cách gần nhất giữa vật thể và tâm Mặt Trời là 2 . $10^8$ km.

a) Lập phương trình chính tắc của (H).

b) Lập công thức tính bán kính qua tiêu của vị trí M(x; y) của vật thể trong mặt phẳng toạ độ.

4. ĐƯỜNG CHUẨN

Hoạt động khám phá 4:  Cho điểm M((x; y) trên hypebol 

(H): $\frac{x^2}{a^2}$ + $\frac{y^2}{b^2}$=1 và hai đường thẳng

Gọi d(M; Δ1), d(M; Δ2) lần lượt là khoảng cách từ M đến các đường thẳng Δ1, Δ2.

Ta có: e

Dựa theo cách tính trên, tính   

Thực hành 4: Tìm tọa đọ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đưởng chuẩn tướng ứng của các hypebol sau: 

a, (H1): $\frac{x^2}{4}$ + $\frac{y^2}{1}$=1

b, (H2): $\frac{x^2}{36}$ + $\frac{y^2}{64}$=1

c, (H3): $\frac{x^2}{9}$ + $\frac{y^2}{9}$=1

Vận dụng 5: Lập phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 26 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng $\frac{288}{13}$

BÀI TẬP

1. Cho hypebol (H): $\frac{x^2}{144}$ + $\frac{y^2}{25}$=1

a) Tìm tâm sai và độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm

(3; $\frac{25}{12}$) trên (H)

b) Tìm tọa độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng.

c) Tìm điểm N(x; y) ∈ (H) sao cho NF1 = 2NF2 với F1, F2 là hai tiêu điểm của (H).

2. Lập phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 20 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng $\frac{36}{5}$

3. Cho đường tròn (C) tâm F1, bán kính r và một điểm F2 thoả mãn F1F2 = 4r

a) Chứng tỏ rằng tâm của các đường tròn đi qua F2 và tiếp xúc với (C) nằm trên một đường hypebol (H).

b) Viết phương trình chính tắc và tìm tâm sai của (H).

4. Trong hoát động mở đầu bài học, cho biết khoảng cách giữa hai trạm vô tuyến là 600km, vận tốc sóng vô tuysn là 300 000 km/a và thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ hai trạm trên bờ biển luôn là cách nhau 0,0012s ( hai trạm vô tuyến phát các tín hiệu cùng một thời điểm). Viết phương trình chính tắc của quỹ đạo hypebol (H) của con tàu