2.Chứng minh rằng, với mọin∈ℕ*">n∈ℕ*, ta có:a) 52n– 1...

Để chứng minh hai khẳng định trên, ta sử dụng phương pháp quy nạp trong toán học.

a) Ta chứng minh khẳng định đúng với n = 1:
Đối với n = 1, ta có 5(2*1) - 1 = 24, suy ra khẳng định đúng với n = 1.

Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, tức là 5^(2k) - 1 chia hết cho 24.
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là cần chứng minh 5^(2(k+1)) - 1 chia hết cho 24.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
5^(2(k+1)) - 1 = 5^(2k+2) - 1 = 25 * 5^(2k) - 1 = 24 * 5^(2k) + 5^(2k)
Vì 24 * 5^(2k) và (5^(2k) - 1) đều chia hết cho 24, nên 24 * 5^(2k) + (5^(2k) - 1) chia hết cho 24.
Do đó, 5^(2(k+1)) - 1 chia hết cho 24.

Vậy khẳng định đúng với n = k + 1. Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta kết luận rằng khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

b) Ta chứng minh khẳng định đúng với n = 1:
Đối với n = 1, ta có 1^3 + 5*1 = 6, suy ra khẳng định đúng với n = 1.

Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, tức là k^3 + 5k chia hết cho 6.
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là cần chứng minh (k+1)^3 + 5(k+1) chia hết cho 6.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
(k+1)^3 + 5(k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 5k + 5 = k^3 + 5k + 3(k^2 + k + 1)
Vì k và k+1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2, do đó 3k(k + 1) chia hết cho 6.
Do đó, (k^3 + 5k) và 3k(k + 1) đều chia hết cho 6, suy ra (k^3 + 5k) + 3k(k + 1) + 6 chia hết cho 6.
Từ đó, ta có (k + 1)^3 + 5(k + 1) chia hết cho 6.

Vậy khẳng định đúng với n = k + 1. Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta kết luận rằng khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.