3.Chứng minh rằng nếu x > –1 thì $(1 + x)^n$ ≥ 1 + nx với mọin&#x22...

Để chứng minh rằng $(1 + x)^n \geq 1 + nx$ với mọi số tự nhiên n, khi $x > -1$, ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp.

**Bước 1:** Chứng minh cho trường hợp cơ sở:
Với n = 1, ta có $(1 + x)^1 = 1 + x \geq 1 + 1x$.
Do đó, khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

**Bước 2:** Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là $(1 + x)^k \geq 1 + kx$.

**Bước 3:** Chứng minh bước quy nạp:
Khi đó, ta sẽ chứng minh $(1 + x)^{k+1} \geq 1 + (k+1)x$.
Ta có:
$(1 + x)^{k+1} = (1 + x)(1 + x)^k$
$\geq (1 + x)(1 + kx)$ (do giả thiết quy nạp)
$= 1 + x + kx + kx^2$
$= 1 + (k+1)x + kx^2$
Với $x > -1$, nên $kx^2 \geq 0$.
Vậy $(1 + x)^{k+1} \geq 1 + (k+1)x$.

Vậy, từ cả 3 bước trên, ta suy ra $(1 + x)^n \geq 1 + nx$ với mọi số tự nhiên n, khi $x > -1$.