BÀI TẬP1.Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọin∈ℕ*">

Phương pháp giải:

Ta cần chứng minh đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1:

1. 2^(n – 1) = 2^n / 2

2. 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^2

a. Chứng minh đẳng thức 1:

- Với n = 1, ta được 2^(1-1) = 2^0 = 1 = 2^1 / 2, đẳng thức đúng với n = 1.

- Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là 2^(k-1) = 2^k / 2.

- Cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là 2^(k+1-1) = 2^(k+1) / 2.

- Giả thiết quy nạp:

2^(k+1-1) = 2^(k) = 2*2^(k) = 2^(k+1) / 2.

Vậy đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

b. Chứng minh đẳng thức 2:

- Với n = 1, ta được 1 = 1^2, đẳng thức đúng với n = 1.

- Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k^2.

- Cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là 1 + 3 + 5 + ... + (2(k+1) - 1) = (k+1)^2.

- Giả thiết quy nạp:

1 + 3 + 5 + ... + (2(k+1) - 1) = k^2 + (2(k+1) - 1) = k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2.

Vậy đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Sau khi chứng minh theo phương pháp quy nạp như trên, ta có thể kết luận rằng cả hai đẳng thức đều đúng với mọi số tự nhiên n trong tập ℕ*.