4.Cho a, b ≥ 0. Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọin∈ℕ*:">

Để chứng minh bất đẳng thức \(a^n - b^n > (a - b)n\), ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp.

**Bước 1:** Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = 1:
\[a^1 - b^1 = a - b > (a - b)1\]
Do đó bất đẳng thức đúng với n = 1.

**Bước 2:** Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1:
\[a^k - b^k > (a - b)k\]

**Bước 3:** Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1:
Ta có:
\[a^{k+1} - b^{k+1} = a \cdot a^k - b \cdot b^k = a^k(a-b) + b(a^k - b^k)\]
Vì đã giả sử bất đẳng thức đúng với n = k, bằng cách nhân thêm a-b vào cả 2 vế ta được:
\[a^k(a-b) + b(a^k - b^k) > k(a - b)(a-b) = (a - b)(k+1)\]

Do đó bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Suy ra, theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.