Bài tập 8. Xác định giá trị của các hệ số a, b, c và xét dấu của tam thức bậc hai f(x)= $ax^{2} +...

Phương pháp giải:

a) Để xác định giá trị của các hệ số a, b, c và xét dấu của tam thức bậc hai f(x), ta sử dụng ba điểm đã cho để lập hệ phương trình và giải hệ phương trình đó.

|\((x_{i}, y_{i})\)|\((x_{i})^{2}\)|\((x_{i})\)|1|
|---|---|---|---|
|(-1, -4)|1|-1|1|
|(0, 3)|0|0|1|
|(1, -14)|1|1|1|

Thay các giá trị vào tam thức bậc hai \(f(x) = ax^{2} + bx + c\), ta có:
- \(-4 = a - b + c\) (1)
- \(3 = c\) (2)
- \(-14 = a + b + c\) (3)

Từ (2), suy ra \(c = 3\). Thay \(c = 3\) vào (1) và (3), ta được hệ phương trình:
- \(a - b + 3 = -4\)
- \(a + b + 3 = -14\)

Giải hệ phương trình trên, ta tìm được \(a = -12\) và \(b = -5\). Do đó, ta suy ra được \(f(x) = -12x^{2} - 5x + 3\).

b) Tương tự, ta thực hiện như trên với ba điểm đã cho:
|(x_{i}, y_{i})|\((x_{i})^{2}\)|\((x_{i})\)|1|
|---|---|---|---|
|(0, -2)|0|0|1|
|(2, 6)|4|2|1|
|(3, 13)|9|3|1|

Thay các giá trị vào tam thức bậc hai \(f(x) = ax^{2} + bx + c\), ta có:
- \(-2 = c\) (1)
- \(6 = 4a + 2b + c\) (2)
- \(13 = 9a + 3b + c\) (3)

Thay \(c = -2\) vào (2) và (3), ta tìm được \(a = 1\) và \(b = 2\). Vậy, ta suy ra được \(f(x) = x^{2} + 2x - 2\).

c) Cuối cùng, ta lập hệ phương trình với ba điểm đã cho:
|(x_{i}, y_{i})|\((x_{i})^{2}\)|\((x_{i})\)|1|
|---|---|---|---|
|(-5, 33)|25|-5|1|
|(0, 3)|0|0|1|
|(2, 19)|4|2|1|

Thay các giá trị vào tam thức bậc hai \(f(x) = ax^{2} + bx + c\), ta có:
- \(33 = 25a - 5b + c\) (1)
- \(3 = c\) (2)
- \(19 = 4a + 2b + c\) (3)

Thay \(c = 3\) vào (1) và (3), ta tìm được \(a = 2\) và \(b = 4\). Do đó, ta suy ra được \(f(x) = 2x^{2} + 4x + 3\).

Vậy, giá trị của các hệ số a, b, c đã được xác định và ta đã xét dấu của tam thức bậc hai f(x) trong từng trường hợp đã cho.