Bài tập 5.Xét dấu của các tam thức bậc hai sau:a) f(x) = $x^{2} - 5x + 4$; ...

Để xác định dấu của một tam thức bậc hai, ta cần tìm nghiệm của tam thức đó.

1. a) Để tìm nghiệm của $f(x) = x^{2} - 5x + 4$, ta giải phương trình $x^{2} - 5x + 4 = 0$. Phương trình này có hai nghiệm là $x = 1$ và $x = 4$. Ta có thể sử dụng đạo hàm để xác định dấu của $f(x)$ trên các khoảng (-∞; 1), (1; 4), và (4; +∞). Kết quả là f(x) dương trong khoảng (-∞; 1) và (4; +∞), f(x) âm trong khoảng (1; 4).

2. b) Để tìm dấu của $f(x) = -\frac{1}{3}x^{2} + 2x - 3$, ta có thể sử dụng đạo hàm hoặc cách khác để xác định rằng $f(x)$ là tam thức bậc hai nên có dạng đối xứng với trục tung x = 3. Do đó, f(x) sẽ âm với mọi x khác 3.

3. c) $f(x) = 3x^{2} + 6x + 4$ luôn dương với mọi x vì hệ số bậc hai là dương.

4. d) Để tìm dấu của $f(x) = -2x^{2} + 3x + 5$, ta giải phương trình $-2x^{2} + 3x + 5 = 0$ để tìm nghiệm. Phương trình này có hai nghiệm là x = -1 và x = 2,5. Ta sử dụng đạo hàm để xác định dấu của $f(x)$ trên các khoảng (-∞; -1), (-1; 2,5), và (2,5; +∞). Kết quả là f(x) âm trong khoảng (-∞; -1) và (2,5; +∞), f(x) dương trong khoảng (-1; 2,5).

5. e) $f(x) = -6x^{2} + 3x - 1$ sẽ luôn âm với mọi x vì hệ số bậc hai là âm.

6. g) $f(x) = 4x^{2} + 12x + 9$ sẽ luôn dương với mọi x trừ x = -3/2 vì hệ số bậc hai là dương.

Như vậy, các phương trình tam thức bậc hai đã được xác định dấu.