Bài tập 7. Chứng minh rằng:a) $2x^{2} + \sqrt{3}x + 1 > 0$ với mọi x $\in \mathbb{R}$;b) $x^{2}...

Phương pháp giải:

a) Để chứng minh $2x^{2} + \sqrt{3}x + 1 > 0$ với mọi x $\in \mathbb{R}$, ta sử dụng định lí về biểu thức bậc hai. Xác định a, b, c thỏa mãn $2x^{2} + \sqrt{3}x + 1 = ax^{2} + bx + c$. Ta có a = 2, b = $\sqrt{3}$, c = 1.
Tính $\Delta = b^{2} - 4ac = (\sqrt{3})^{2} - 4*2*1 = 3 - 8 = -5 < 0$
Vì $\Delta < 0$, nên ta kết luận rằng $2x^{2} + \sqrt{3}x + 1 > 0$ với mọi x $\in \mathbb{R}$.

b) Để chứng minh $x^{2} + x + \frac{1}{4} \geq 0$ với mọi x $\in \mathbb{R}$, ta cũng sử dụng định lí về biểu thức bậc hai. Xác định a, b, c thỏa mãn $x^{2} + x + \frac{1}{4} = ax^{2} + bx + c$. Ta có a = 1, b = 1, c = $\frac{1}{4}$.
Tính $\Delta = b^{2} - 4ac = 1^{2} - 4*1*\frac{1}{4} = 1 - 1 = 0$.
Vì $\Delta = 0$, nên ta kết luận rằng $x^{2} + x + \frac{1}{4} \geq 0$ với mọi x $\in \mathbb{R}$.

c) Để chứng minh $-x^{2} < -2x + 3$ với mọi x $\in \mathbb{R}$, ta đưa về dạng chưa có bất đẳng thức, ta cộng thêm x^{2} - 2x - 3 vào 2 vế, ta được $-x^{2} + 2x - 3 < 0$. Đây là một bất đẳng thức bậc hai, a = -1 và $\Delta' = 2 < 0$.
Vậy ta kết luận rằng $-x^{2} < -2x + 3$ với mọi x $\in \mathbb{R}$.