Bài tập 2.29 trang 57 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Chứng minh rằng:a) Trong...

Để chứng minh công thức $u_k = \frac{u_{k-1} + u_{k+1}}{2}$ trong một cấp số cộng, ta có thể xét tổng quát phần tử $u_k$, $u_{k-1}$ và $u_{k+1}$:

Gọi $u_1$ là số hạng đầu tiên của cấp số cộng, $d$ là công sai giữa các số hạng.
Ta có $u_k = u_1 + (k-1)d$, $u_{k-1} = u_1 + (k-2)d$ và $u_{k+1} = u_1 + kd$.

Khi đó, $u_{k-1} + u_{k+1} = (u_1 + (k-2)d) + (u_1 + kd) = 2u_1 + (2k-2)d = 2(u_1 + (k-1)d) = 2u_k$.

Do đó, ta có $$u_k = \frac{u_{k-1} + u_{k+1}}{2}$$

Để chứng minh công thức $u_k^2 = u_{k-1} \times u_{k+1}$ trong một cấp số nhân, ta có thể xét tổng quát phần tử $u_k$, $u_{k-1}$ và $u_{k+1}$:

Gọi $u_1$ là số hạng đầu tiên của cấp số nhân, $q$ là hệ số nhân giữa các số hạng.
Ta có $u_k = u_1 \times q^{k-1}$, $u_{k-1} = u_1 \times q^{k-2}$ và $u_{k+1} = u_1 \times q^{k}$.

Khi đó, $u_{k-1} \times u_{k+1} = (u_1 \times q^{k-2}) \times (u_1 \times q^{k}) = u_1^2 \times q^{2k-2} = (u_1 \times q^{k-1})^2 = u_k^2$.

Do đó, ta có $$u_k^2 = u_{k-1} \times u_{k+1}$$.

Vậy, ta đã chứng minh hai công thức trên đúng.

Câu trả lời cho câu hỏi:
a) Trong một cấp số cộng, ta có $u_n = \frac{u_{n-1} + u_{n+1}}{2}$.
b) Trong một cấp số nhân, ta có $u_k^2 = u_{k-1} \times u_{k+1}$.