7.25.Cho đường tròn (C), đường thẳng Δ có phương trình lần lượt là:$(x – 1)^{2} + (y + 1)^{2}...

Phương pháp giải:

a) Ta có đường tròn (C) có phương trình $(x – 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 2$ và đường thẳng Δ có phương trình $x + y + 2 = 0$. Để chứng minh rằng Δ là một tiếp tuyến của đường tròn (C), ta cần tính khoảng cách từ tâm của đường tròn đến đường thẳng Δ. Khoảng cách này bằng bán kính của đường tròn.

Tính khoảng cách từ tâm I(1, -1) đến đường thẳng Δ, ta có $d(I,Δ) = \frac{|1-1+2|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}} = \sqrt{2}$. Bán kính của đường tròn là $R=\sqrt{2}$. Vậy ta có d(I, Δ) = R, suy ra Δ là tiếp tuyến của (C).

b) Để viết phương trình tiếp tuyến d của (C) song song với Δ, ta cần tìm phương trình của d có dạng $x + y + m = 0$, với m khác 2.

Để d là tiếp tuyến của (C) có d(I, d) = R, ta có $\frac{|1-1+m|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}} = \sqrt{2}$, tức là $|m| = 2$, từ đó ta có m = ±2. Vì m khác 2, nên m = -2.

Vậy phương trình của đường thẳng d là x + y - 2 = 0.

Đáp án:
a) Δ là tiếp tuyến của đường tròn (C).
b) Phương trình của đường thẳng d là x + y - 2 = 0.