7.24.Cho điểm A(4; 2) và hai đường thẳng d: 3x + 4y – 20 = 0, d’: 2x + y = 0.a)Viết...

a) Để tìm phương trình của đường thẳng Δ đi qua điểm A(4;2) và vuông góc với d: 3x + 4y – 20 = 0, ta cần tìm vectơ pháp tuyến của Δ, ký hiệu là \(\overrightarrow{n_{\Delta}}\), bằng với vectơ pháp tuyến của d, ký hiệu là \(\overrightarrow{n_{d}}\), nhưng đổi dấu và đổi vị trí các thành phần. Ta có \(\overrightarrow{n_{d}} = (3, 4)\), suy ra \(\overrightarrow{n_{\Delta}} = (-4, 3)\).

Suy ra phương trình của Δ được viết dưới dạng: -4(x - 4) + 3(y - 2) = 0 ⇔ -4x + 16 + 3y - 6 = 0 ⇔ -4x + 3y - 10 = 0.

b) Đầu tiên, để đường tròn (C) tiếp xúc với d tại điểm A, ta cần tìm tâm I của đường tròn (C). Theo điều kiện, vectơ IA vuông góc với d, suy ra tâm I thuộc đường thẳng vuông góc với d tại A, và I cũng thuộc đường thẳng d'.

Giải hệ phương trình tìm toạ độ của tâm I, ta có I(1, -2). Tiếp theo, tính bán kính của đường tròn (C) bằng cách tính khoảng cách từ tâm I đến điểm A: \(IA = \sqrt{(4 - 1)^2 + (2 - (-2))^2} = 5\).

Vậy phương trình của đường tròn (C) là \((x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25\).