4.Cho a, b ≥ 0. Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọin∈ℕ*:">
Câu hỏi:
4. Cho a, b ≥ 0. Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi n∈ℕ*:">
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Văn Giang
Để chứng minh bất đẳng thức \(a^n - b^n > (a - b)n\), ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp.**Bước 1:** Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = 1:\[a^1 - b^1 = a - b > (a - b)1\]Do đó bất đẳng thức đúng với n = 1.**Bước 2:** Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1:\[a^k - b^k > (a - b)k\]**Bước 3:** Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1:Ta có:\[a^{k+1} - b^{k+1} = a \cdot a^k - b \cdot b^k = a^k(a-b) + b(a^k - b^k)\]Vì đã giả sử bất đẳng thức đúng với n = k, bằng cách nhân thêm a-b vào cả 2 vế ta được:\[a^k(a-b) + b(a^k - b^k) > k(a - b)(a-b) = (a - b)(k+1)\]Do đó bất đẳng thức đúng với n = k + 1.Suy ra, theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
Câu hỏi liên quan:
- 1.PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌCHoạt động khám phá: Bằng cách tô màu trên lưới ô vuông như hình dưới...
- Thực hành 1: Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọin∈ℕ*">
- Thực hành 2: Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiênn ≥ 3: 2n +...
- 2. ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌCThực hành 3:Chứng minh rằng n3+ 2n chia hết cho...
- Thực hành 4:Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọin∈ℕ*">
- Thực hành 5:Chứng minh rằng trong mặt phẳng, n đường thẳng khác nhau cùng đi qua một điểm...
- Vận dụng:Một khoản tiền A đồng (gọi là vốn) được gửi tiết kiệm có kì hạn ở một ngân...
- BÀI TẬP1.Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọin∈ℕ*">
- 2.Chứng minh rằng, với mọin∈ℕ*">n∈ℕ*, ta có:a) 52n– 1...
- 3.Chứng minh rằng nếu x > –1 thì $(1 + x)^n$ ≥ 1 + nx với mọin"...
- 5.Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 2:
- 6.Trong mặt phẳng, cho đa giác A1A2A3... Ancó n cạnh (n ≥ 3). Gọi...
- 7.Hàng tháng, một người gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiết kiệm không đổi a đồng. Giả sử...
Bình luận (0)