3.Chứng minh rằng nếu x > –1 thì $(1 + x)^n$ ≥ 1 + nx với mọin"...
Câu hỏi:
3. Chứng minh rằng nếu x > –1 thì $(1 + x)^n$ ≥ 1 + nx với mọi n∈ℕ*">nn∈ℕ*">∈n∈ℕ*">n∈ℕ*">Nn∈ℕ*">∗
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Văn Ngọc
Để chứng minh rằng $(1 + x)^n \geq 1 + nx$ với mọi số tự nhiên n, khi $x > -1$, ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp.**Bước 1:** Chứng minh cho trường hợp cơ sở: Với n = 1, ta có $(1 + x)^1 = 1 + x \geq 1 + 1x$. Do đó, khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.**Bước 2:** Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là $(1 + x)^k \geq 1 + kx$.**Bước 3:** Chứng minh bước quy nạp:Khi đó, ta sẽ chứng minh $(1 + x)^{k+1} \geq 1 + (k+1)x$.Ta có:$(1 + x)^{k+1} = (1 + x)(1 + x)^k$ $\geq (1 + x)(1 + kx)$ (do giả thiết quy nạp) $= 1 + x + kx + kx^2$ $= 1 + (k+1)x + kx^2$Với $x > -1$, nên $kx^2 \geq 0$.Vậy $(1 + x)^{k+1} \geq 1 + (k+1)x$.Vậy, từ cả 3 bước trên, ta suy ra $(1 + x)^n \geq 1 + nx$ với mọi số tự nhiên n, khi $x > -1$.
Câu hỏi liên quan:
- 1.PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌCHoạt động khám phá: Bằng cách tô màu trên lưới ô vuông như hình dưới...
- Thực hành 1: Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọin∈ℕ*">
- Thực hành 2: Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiênn ≥ 3: 2n +...
- 2. ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌCThực hành 3:Chứng minh rằng n3+ 2n chia hết cho...
- Thực hành 4:Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọin∈ℕ*">
- Thực hành 5:Chứng minh rằng trong mặt phẳng, n đường thẳng khác nhau cùng đi qua một điểm...
- Vận dụng:Một khoản tiền A đồng (gọi là vốn) được gửi tiết kiệm có kì hạn ở một ngân...
- BÀI TẬP1.Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọin∈ℕ*">
- 2.Chứng minh rằng, với mọin∈ℕ*">n∈ℕ*, ta có:a) 52n– 1...
- 4.Cho a, b ≥ 0. Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọin∈ℕ*:">
- 5.Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 2:
- 6.Trong mặt phẳng, cho đa giác A1A2A3... Ancó n cạnh (n ≥ 3). Gọi...
- 7.Hàng tháng, một người gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiết kiệm không đổi a đồng. Giả sử...
Bình luận (0)