3. Cho biểu thức:Q = $\left [...
Câu hỏi:
3. Cho biểu thức:
Q = $\left [ \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{xy}+1}+\frac{\sqrt{x}(\sqrt{y}+1)}{1-\sqrt{xy}}+1 \right ]:\left [ 1-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{xy}+1}-\frac{\sqrt{x}(\sqrt{y}+1)}{\sqrt{xy}-1} \right ]$ với $x\geq 0, y\geq 0$ và $xy\neq 1$
a, Rút gọn Q
b, Tìm giá trị của Q khi $x=2(3-\sqrt{5}),y=2(3+\sqrt{5})$
c, Cho $\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{2}{\sqrt{y}}=5$. Tìm giá trị lớn nhất của Q
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Đăng Dung
Phương pháp giải câu hỏi trên:a. Để rút gọn biểu thức $Q$, ta thay giá trị cụ thể của $Q$ vào biểu thức và thực hiện tính toán.b. Để tìm giá trị của $Q$ khi $x=2(3-\sqrt{5}), y=2(3+\sqrt{5})$, ta thay các giá trị của $x$ và $y$ vào biểu thức $Q$ và tính toán giá trị của $Q$.c. Để tìm giá trị lớn nhất của $Q$ khi $\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{2}{\sqrt{y}}=5$, ta sẽ dùng phương pháp giải bất đẳng thức và biến đổi biểu thức cho phù hợp để tìm ra giá trị lớn nhất của $Q$.Câu trả lời đầy đủ và chi tiết hơn:a. Đầu tiên, chúng ta rút gọn biểu thức $Q$:$Q = \frac{(\sqrt{x}+1)(1-\sqrt{xy}) + \sqrt{x}(\sqrt{y}+1)(\sqrt{xy}+1) + (\sqrt{xy}+1)(1-\sqrt{xy})}{(\sqrt{xy}+1)(1-\sqrt{xy})} : \frac{(\sqrt{xy}+1)(\sqrt{xy}-1) - (\sqrt{x}+1)(\sqrt{xy}-1) - \sqrt{x}(\sqrt{y}+1)(\sqrt{xy}+1)}{(\sqrt{xy}+1)(\sqrt{xy}-1)}$Sau khi rút gọn, ta được $Q = \frac{1}{\sqrt{xy}}$.b. Thay giá trị $x=2(3-\sqrt{5}), y=2(3+\sqrt{5})$ vào biểu thức $Q$:$x=2(3-\sqrt{5}) = 6 - 2\sqrt{5}$ và $y=2(3+\sqrt{5}) = 6 + 2\sqrt{5}$Khi đó, $xy = (6-2\sqrt{5})(6+2\sqrt{5}) = 36 - 20 = 16$.Vậy, $\sqrt{xy} = \sqrt{16} = 4$.Thay vào biểu thức $Q$, ta được $Q = \frac{1}{4}$.c. Từ $\frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{2}{\sqrt{y}} = 5$, ta có $\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}} = \frac{5}{2}$.Từ đó, $(\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}})^2 = \frac{25}{4}$, hay $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{25}{4} - \frac{2}{\sqrt{xy}}$.Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq 2\sqrt{\frac{1}{x}.\frac{1}{y}}$.Tương đương với $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq 2\sqrt{\frac{1}{xy}}$, suy ra, $\frac{25}{4} - \frac{2}{\sqrt{xy}} \geq 2\sqrt{\frac{1}{xy}}$, hay $\frac{4}{\sqrt{xy}} \leq \frac{25}{4}$, và vậy $\frac{1}{\sqrt{xy}} \leq \frac{25}{16}$.Dấu bằng xảy ra khi $\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{y}}$, suy ra $x = y = \frac{16}{25}$.Vậy, giá trị lớn nhất của $Q$ là $\frac{25}{16}$.
Câu hỏi liên quan:
{ "content1": "a. Để rút gọn Q, ta thực hiện phép tính và rút gọn biểu thức, ta được Q = 2.", "content2": "b. Thay giá trị $x=2(3-\sqrt{5}),y=2(3+\sqrt{5})$ vào biểu thức Q, ta tính được Q = 2.", "content3": "c. Từ phương trình $\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{2}{\sqrt{y}}=5$, ta suy ra $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\frac{4}{5}$. Thay vào biểu thức Q, ta tính được giá trị lớn nhất của Q là 5.", "content4": "d. Áp dụng công thức đổi màu hai bên biểu thức, ta tính được giá trị của Q là 2.", "content5": "e. Sử dụng phương pháp khai triển và thu gọn biểu thức, ta suy ra giá trị của Q là 2."}