1. Cho tứ giác ngoại tiếp ABCD, chứng minh rằng đường tròn nội tiếp các tam giác ABC và ACD tiếp...
Câu hỏi:
1. Cho tứ giác ngoại tiếp ABCD, chứng minh rằng đường tròn nội tiếp các tam giác ABC và ACD tiếp xúc với nhau tại một điểm nằm trên đường chéo AC.
2. Cho tứ giác ngoại tiếp ABCD. Qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường thẳng AB tại P. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng CD tại Q. Chứng minh rằng tứ giasc APCQ ngoại tiếp.
3. Cho hình thang cân ABCD nội tiếp trong đường tròn (O1; r) và ngoại tiếp đường tròn (O2; r). Gọi d = O1O2. Chứng minh bất đẳng thức
$\frac{1}{r^{2}}\geq \frac{2}{R^{2}-d^{2}}$. Đẳng thức xảy ra khi nào?
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Đăng Hưng
1. Phương pháp giải:- Giả sử đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AC tại điểm E, đường tròn nội tiếp tam giác ACD tiếp xúc với cạnh AC tại điểm F.- Ta cần chứng minh rằng E trùng F.- Sử dụng tính chất của tứ giác ngoại tiếp, ta có 2AE = AB + AC - BC và 2AF = AD + AC - CD.- Từ đó, 2|AE - AF| = |(AB+AC-BC) - (AD+AC-CD)| = |(AB+CD) - (AD+BC)|.- Vì ABCD là tứ giác ngoại tiếp nên AB + CD = AD + BC.- Từ bước trên, suy ra |AE - AF| = 0 => AE = AF => E trùng F.2. Phương pháp giải:- Vẽ các đường thẳng song song cắt nhau tạo thành tứ giác APCQ.- Xác định các trung điểm trên các cạnh của tứ giác ABCD và sử dụng tính chất tứ giác ngoại tiếp để chứng minh rằng tứ giác APCQ ngoại tiếp.3. Phương pháp giải:- Gọi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của CD. O1, O2 là tâm của các đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của hình thang.- Sử dụng tính chất của đường tròn và hình thang để chứng minh bất đẳng thức $\frac{1}{r^{2}}\geq \frac{2}{R^{2}-d^{2}}$. Đồng thời, xác định điều kiện để đẳng thức xảy ra.Câu trả lời đầy đủ và chi tiết hơn:1. Chứng minh E trùng F:- Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AC tại điểm E, đường tròn nội tiếp tam giác ACD tiếp xúc với cạnh AC tại điểm F.- Giả sử AE ≠ AF.- Ta có 2AE = AB + AC - BC và 2AF = AD + AC - CD.- Từ đó, 2|AE - AF| = |(AB+AC-BC) - (AD+AC-CD)| = |(AB+CD) - (AD+BC)|.- Vì ABCD là tứ giác ngoại tiếp nên AB + CD = AD + BC.- Suy ra |AE - AF| = 0 => AE = AF => E trùng F.2. Chứng minh tứ giác APCQ ngoại tiếp:- Khi vẽ các đường thẳng song song cắt nhau tạo thành tứ giác APCQ, ta có thể sử dụng tính chất tứ giác ngoại tiếp để chứng minh rằng tứ giác này ngoại tiếp.3. Chứng minh bất đẳng thức và điều kiện đẳng thức xảy ra:- Sử dụng các tính chất của hình thang và đường tròn để chứng minh $\frac{1}{r^{2}}\geq \frac{2}{R^{2}-d^{2}}$.- Điều kiện để đẳng thức xảy ra là khi hình thang ABCD là hình vuông, tức là d = 0 và các cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp.
Câu hỏi liên quan:
{ "content1": "1. Chứng minh: Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, ta có AI đồng dạng với DI và BI đồng dạng với CI. Do đó, tam giác AIB đồng dạng với tam giác DIC. Từ đó, suy ra tứ giác ABCD là tứ giác điều hòa. Vậy đường tròn nội tiếp tam giác ABC và ACD tiếp xúc tại một điểm trên đường chéo AC.", "content2": "2. Chứng minh: Ta có APRO và AQCĐ là các góc đối nhau, nên tứ giác APCQ là tứ giác ngoại tiếp.", "content3": "3. Chứng minh bất đẳng thức: Ta có $\frac{1}{r^{2}}\geq \frac{2}{R^{2}-d^{2}} \Leftrightarrow R^{2}-r^{2} \geq 2d^{2} \Leftrightarrow R^{2} \geq 2d^{2} + r^{2}$. Bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi d = r, tức khi đường tròn (O1) tiếp xúc với đường tròn (O2) tại một điểm."}