1. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và một điểm C di động trên nửa đường tròn. Vẽ $\Delta $ACD...

1. Phương pháp giải:
Phần thuận:
- Giả sử E là giao điểm của đường thẳng CD với nửa đường tròn (O).
- Từ giả thiết $\Delta$ ABC đều, suy ra $\widehat{ACE} = 120^{\circ}$, do đó đo cung BE bằng $60^{\circ}$.
- Điểm E là cố định.
- Vì $\Delta ACD$ đều, nên AM thể hiện đường thằng vuông góc với CD, tức là $\widehat{AME} = 90^{\circ}$.
- Do đó, M nằm trên đường tròn bán kính AE.

Phần đảo:
- Lấy điểm M bất kỳ trên nửa đường tròn đường kính AE.
- Vẽ đường thẳng EM cắt nửa đường tròn (O) tại C.
- Vẽ tam giác ACD đều với D thuộc AC nằm trong nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B.
- Suy ra bốn điểm D, M, C, E thẳng hàng và MD = MC.

2. a) Hướng dẫn:
- Vẽ điểm A thuộc cung chứa góc $50^{\circ}$ trên đoạn thẳng BC và A thuộc đường tròn tâm M bán kính R = 3cm (trung điểm BC).
b) Dựng đường tròn (O; 2,5cm) với nửa đường tròn chứa $115^{\circ}$.
- Vẽ đường thẳng d song song với BC cách BC 1cm. Đường thẳng d cắt cung $115^{\circ}$ tại I.
- Dựng đường tròn (I; 1cm) và vẽ dây cung AB theo đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (I).
- Nối AC, tam giác ABC là tam giác cần dựng.

3. a) Bốn điểm A, D, O, E cùng nằm trên đường tròn đường kính OA, do đó $\widehat{EAO} = \widehat{EDO} = \frac{\widehat{A}}{2}$, và từ đó suy ra $\widehat{BHD} = \frac{\widehat{C}}{2}$.
b) Theo kết quả ở phần a, ta có $\widehat{OHE} = \widehat{ECO} = 90^{\circ}$, nên BH vuông góc với CH.
- Gọi M là trung điểm của BC, ta có $\Delta BHM$ cân tại M, từ đó suy ra HM // AB.
- Tóm lại: đường trung bình của $\Delta ABC$ (song song với AB), đường phân giác trong của $\widehat{ABC}$ và DE đồng quy tại điểm H.

Câu trả lời:
1. Quỹ tích trung điểm M của đoạn CD là nửa đường tròn đường kính AE nằm trên nửa mặt phẳng bờ AE không chứa B.
2.
a) Để dựng tam giác ABC, ta thực hiện các bước đã hướng dẫn ở phần a.
b) Tam giác ABC cần dựng là tam giác có điều kiện đã được nêu trong câu hỏi.
3.
a) Bốn điểm O, E, H, C cùng nằm trên một đường tròn.
b) Đường trung bình của $\Delta ABC$ (song song với cạnh AB), đường phân giác trong của $\widehat{ABC}$ và đường DE đồng quy tại điểm H.