Bài tập 2. Hãy tìm độ lệch chuẩn, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và các giá trị ngoại lệ của...

a. Số trung bình của mẫu số liệu trên là: (6 + 8 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 2 + 4) : 9 = 5

Phương sai của mẫu số liệu trên là: $S^{2}$ = $\frac{1}{9}$($6^{2}$ + $8^{2}$ + $3^{2}$ + $4^{2}$ + $5^{2}$ + $6^{2}$ + $7^{2}$ + $2^{2}$ + $4^{2}$) - $5^{2}$ = $\frac{10}{3}$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là: S = $\sqrt{S^{2}}$ = $\sqrt{\frac{10}{3}}$ $\approx$ 1,8

Sắp xếp các số liệu của mẫu theo thứ tự không giảm, ta được: 2; 3; 4; 4; 5; 6; 6; 7; 8.

• Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: R = 8 - 2 = 6
• Cỡ mẫu n = 9 là số lẻ, nên giá trị tứ phân vị thứ hai là $Q_{2}$ = 5
• Tứ vị phân thứ nhất là trung vị của mẫu: 2; 3; 4; 4. Do đó $Q_{1}$ = $\frac{1}{2}$(3 + 4) = 3,5
• Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 6; 6; 7; 8. Do đó $Q_{3}$ = $\frac{1}{2}$(6 + 7) = 6,5
• Khoảng tứ phân vị của mẫu là: $\Delta_{Q}$ = 6,5 - 3,5 = 3.

Ta có: $Q_{3}$ + 1,5$\Delta_{Q}$ = 6,5 + 1,5. 3 = 11 và $Q_{1}$ - 1,5$\Delta_{Q}$ = 3,5 - 1,5.3 = -1.

Vậy mẫu số liệu trên không có giá trị nào ngoại lệ.

b. Số trung bình của mẫu số liệu trên là: (13 + 37 + 64 + 12 + 26 + 43 + 29 + 23) : 8 = 30,875

Phương sai của mẫu số liệu trên là: $S^{2}$ = $\frac{1}{8}$($13^{2}$ + $37^{2}$ + $4^{2}$ + $12^{2}$ + $26^{2}$ + $43^{2}$ + $29^{2}$ + $23^{2}$) - $30,875^{2}$ $\approx$ 255,9

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là: S = $\sqrt{S^{2}}$ = $\sqrt{255,9}$ $\approx$ 16

Sắp xếp các số liệu của mẫu theo thứ tự không giảm, ta được: 12; 13; 23; 26; 29; 37; 43; 64.

• Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: R = 64 - 12 = 52
• Cỡ mẫu n = 8 là số chẵn, nên giá trị tứ phân vị thứ hai là $Q_{2}$ = $\frac{1}{2}$(26 + 29) = 27,5
• Tứ vị phân thứ nhất là trung vị của mẫu: 12; 13; 23; 26. Do đó $Q_{1}$ = $\frac{1}{2}$(13 + 23) = 18
• Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 29; 37; 43; 64. Do đó $Q_{3}$ = $\frac{1}{2}$(37 + 43) = 40
• Khoảng tứ phân vị của mẫu là: $\Delta_{Q}$ = 40 - 18 = 22

Ta có: $Q_{3}$ + 1,5$\Delta_{Q}$ = 40 + 1,5. 22 = 73 và $Q_{1}$ - 1,5$\Delta_{Q}$ = 18 - 1,5.22 = -15.

Vậy mẫu không có giá trị ngoại lệ nào.