4.44.Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A. Gọi M là trung điểm của BC và D là điểm nằm trên tia...
Câu hỏi:
4.44. Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A. Gọi M là trung điểm của BC và D là điểm nằm trên tia đối của tia MA sao cho MD = MA (H.4.49). Chứng minh rằng:
a) Tam giác ABD vuông tại B.
b)$ \Delta ABD=\Delta BAC$
c) Các tam giác AMB, AMC là các tam giác cân tại đỉnh M.
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Văn Long
a) Ta có:- Vì $M$ là trung điểm của $BC$, nên $MB = MC$ và $M$ là trung điểm của $BC$.- Theo điều kiện đề bài, $MD = MA$.Xét tam giác $AMC$ và tam giác $DMB$:- Ta có $MA = MD$ (giả thiết).- $MB = MC$ (do $M$ là trung điểm của $BC$).- $\angle AMC = \angle DMB$ (hai góc đối).Do đó, theo trường hợp $c.g.c$, ta có $\Delta AMC = \Delta DMB$, từ đó suy ra $\angle DBM = \angle ACM$ (hai góc tương ứng).Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$, nên $\angle ABC + \angle ACM = \angle ABC + \angle ACB = 90^\circ$.Suy ra $\angle ABD = \angle ABC + \angle CBD = \angle ABC + \angle DBM = \angle ABC + \angle ACM = 90^\circ$.Vậy tam giác $ABD$ là tam giác vuông tại $B$.b) Ta có:- $BD = AC$ (do $\Delta AMC = \Delta DMB$).- $AB$ chung.Do đó, theo trường hợp $c.g.c$, ta có $\Delta ABD = \Delta BAC$.c) Ta đã chứng minh được tam giác $ABD$ và tam giác $BAC$ đồng dạng. Vì vậy, ta có $\angle BDA = \angle CAD$ (hai góc so le trong).Lại có $\angle ACB = \angle BDA$ (do $\Delta ABD = \Delta BAC$).Từ đó, ta suy ra $\angle CAD = \angle ACB$, hay $\angle CAM = \angle ACM$.Vậy tam giác $AMC$ cân tại đỉnh $M$.Khi đó, $MA = MC$ và $MB = MC$ (do $M$ là trung điểm của $BC$).Từ đó, ta có tam giác $AMB$ cân tại đỉnh $M$.
Câu hỏi liên quan:
- BÀI TẬP4.41.Trong những tam giác dưới đây (H.4.46), tam giác nào là tam giác cân, cân tại...
- 4.42.Tính số đo các góc còn lại trong các tam giác cân dưới đây (H.4.47).
- 4.43.Tam giác ABC có hai đường cao BE và CF bằng nhau (H.4.48). Chứng minh rằng tam giác ABC...
- 4.45.Cho tam giác ABC là tam giác cân đỉnh A. Chứng minh rằng:a) Hai đường trung tuyến BM, CN...
- 4.46.Cho các điểm A, B, C, D, E như hình 4.51. Chứng minh rằng:a) $\Delta AEB$ và $\Delta...
- 4.47.Cho tam giác ABH vuông tại đỉnh H có $\widehat{ABH}=60^{\circ}$. Trên tia đối của tia HB...
- 4.48.Đường thẳng d trong hình nào dưới đây là trung trực của đoạn thẳng AB?
- 4.49.Cho A là một điểm tùy ý nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC sao cho A...
- 4.50.Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A có đường cao AH. Cho M là một điểm tùy ý trên đường...
{ "content1": "Ta có MD = MA và tam giác ABC vuông tại A nên ta có tam giác MAB cũng vuông tại M theo bổ đề Pythagore.", "content2": "Từ b) ta có $\angle ABD = \angle BAC$ do là góc ở ngoài cùng của tam giác ABC và góc ở ngoài cùng của tam giác ABD.", "content3": "Do MD = MA nên tam giác AMD cũng vuông tại M. Kết hợp với M là trung điểm của BC nên AM là đường cao của tam giác ABC, suy ra AM = AB = AC.", "content4": "Vì AM = AB = AC, M là trung điểm của BC nên ta có $\angle AMB = \angle AMC = 90^{\circ}$, suy ra các tam giác AMB và AMC đều là tam giác cân tại đỉnh M."}