Bài tập 4.30. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1, BC = $\sqrt{2}$. Gọi M là trung điểm của AD.a)...

Để giải bài toán trên, ta thực hiện các bước như sau:

a) Để chứng minh AC vuông góc với BM, ta sử dụng tích vô hướng của hai vector AC và BM.
Gọi $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{d}$ với $|\overrightarrow{b}| = 1$, $|\overrightarrow{d}| = \sqrt{2}$ và $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d} = 0$.
Khi đó, ta có $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{d}$.
Trong đó, M là trung điểm của AD nên $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{d}$ và $\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{d} - \overrightarrow{b}$.
Ta có thể tính được $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BM} = -\overrightarrow{b}^2 + \frac{1}{2}\overrightarrow{d}^2 = -1 + \frac{1}{2} \cdot 2 = 0$.
Vậy ta chứng minh được AC vuông góc với BM.

b) Để chứng minh tam giác NBP là tam giác vuông, ta cần chứng minh được NB vuông góc với NP. Ta sử dụng tích vô hướng của hai vector NB và ND.
Gọi H là giao điểm của AC và BM, ta tính được AH = $\frac{1}{\sqrt{3}}$.
N là trung điểm của AH nên $\overrightarrow{NB} = \frac{5}{6}\overrightarrow{b} - \frac{1}{6}\overrightarrow{d}$.
P là trung điểm của CD nên $\overrightarrow{ND} = \frac{1}{3}\overrightarrow{b} + \frac{5}{6}\overrightarrow{d}$.
Từ đó, ta tính được $\overrightarrow{NB} \cdot \overrightarrow{ND} = 0$, suy ra NB vuông góc với NP.
Do đó, tam giác NBP là tam giác vuông tại N.

Vậy là ta đã giải bài toán một cách chi tiết và đầy đủ.