Bài tập 4.32. Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ thoà mãn ...

Để giải bài toán trên, ta thực hiện như sau:

1. Gọi $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$, với $O$ là gốc tọa độ.
2. Sử dụng định lí Pythagore trong tam giác $OAB$ vuông tại $A$, ta có: $OB^2 = OA^2 + AB^2 = 6^2 + 8^2 = 100$.
3. Từ đó, suy ra $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$, vì hai vectơ này vuông nhau.
4. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})$:
- $\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| \cdot \cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})$
- $\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = 6 \cdot 10 \cdot \frac{3}{5} = 36$
5. Để tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$, ta dùng $\cos$:
- $\cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}|}$
- $\cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = \frac{36}{6 \cdot 10} = \frac{3}{5}$
- Góc giữa $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ là khoảng $53$ độ.

Vậy, câu trả lời chi tiết và đầy đủ hơn sẽ là:
a) Tích vô hướng $\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = 36$
b) Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ là khoảng $53$ độ.