Bài tập 4.29. Cho tam giác đều ABC có độ dải các cạnh bằng 1.a) Gọi M là trung điểm của BC. Tính...

Phương pháp giải:

a) Vì tam giác ABC là tam giác đều nên $MA = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Suy ra $\angle MA, BA = 30^\circ$ và $\angle MA, AC = 120^\circ$. Tích vô hướng giữa $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{BA}$ là $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 \cdot \cos 30^\circ = \frac{3}{2}$. Tích vô hướng giữa $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{AC}$ là $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 \cdot \cos 120^\circ = \frac{-\sqrt{3}}{4}$.

b) Với tam giác đều ABC, ta có $\angle AB, AC = 60^\circ$. Gọi N là điểm đối xứng với B qua M. Ta có $\overrightarrow{AN} = 2\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AB}$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AN}$ ta được $\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + 2\overrightarrow{MA}^2 - \overrightarrow{AB}^2) = \frac{3}{4}$.

c) Với điểm P thuộc đoạn phân giữa AN sao cho AP = 3PN, ta có $\overrightarrow{AP} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AN} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AC} - \frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$.

Khi đó, $\overrightarrow{MP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AM} = (\frac{3}{2}\overrightarrow{AC} - \frac{3}{4}\overrightarrow{AB}) - (\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{AC} - \frac{5}{4}\overrightarrow{AB}$. Từ đó, $MP^2 = \overrightarrow{MP}^2 = (\overrightarrow{AC} - \frac{5}{4}\overrightarrow{AB})^2 = 1 + \frac{25}{16} - \frac{5}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{21}{16}$.

Vậy độ dài đoạn MP là $\frac{\sqrt{21}}{4}$.
"