Bài tập 3.7. Cho tam giác ABC có $\widehat{A}$ = $45^{o}$, $\widehat{C}$ = $30^{o}$và c =...

Để giải bài toán trên, ta thực hiện các bước sau:

a) Tính độ dài các cạnh còn lại của tam giác:
- Sử dụng định lí sin trong tam giác để tính độ dài các cạnh.
- Theo công thức $a = \frac{c}{\sin C} \times \sin A$ và $b = \frac{c}{\sin C} \times \sin B$, ta tính được $a = 12\sqrt{2}$ và $b = 6\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)$.

b) Tính độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác:
- Sử dụng công thức $R = \frac{c}{2\sin C}$, ta tính được bán kính đường tròn ngoại tiếp $R = 12$.

c) Tính diện tích của tam giác:
- Sử dụng công thức $S = \frac{1}{2}bc\sin A$ và tính được diện tích $S = 36(\sqrt{3}+1)$.

d) Tính độ dài các đường cao của tam giác:
- Áp dụng công thức $S = \frac{1}{2}ah_a$ để tính độ dài các đường cao $h_a = 3\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)$, $h_b = 6\sqrt{2}$, $h_c = 6(\sqrt{3}+1)$.

Đáp án chi tiết:
a) Các cạnh còn lại là: $a = 12\sqrt{2}$ và $b = 6\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)$.
b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp là: $R = 12$.
c) Diện tích của tam giác là: $S = 36(\sqrt{3}+1)$.
d) Các đường cao của tam giác là: $h_a = 3\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)$, $h_b = 6\sqrt{2}$ và $h_c = 6(\sqrt{3}+1)$.