Bài tập 3.16. Cho tam giác ABC có S = $2R^{2}$sinAsinB. Chứng minh rằng tam giác ABC là một tam...

Để chứng minh rằng tam giác ABC là một tam giác vuông, ta cần xác định được các góc của tam giác.
Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:
$\frac{a}{\sin A}$ = $\frac{b}{\sin B}$ = $\frac{c}{\sin C}$
Với a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh của tam giác, và A, B, C lần lượt là các góc tương ứng.
Từ đó, ta suy ra:
a = 2R$\sin A$, b = 2R$\sin B$, c = 2R$\sin C$
Áp dụng công thức diện tích tam giác ta có:
S = $\frac{abc}{4R}$ = $\frac{(2R\sin A)(2R\sin B)(2R\sin C)}{4R}$
Suy ra: S = $\frac{8R^{3}\sin A\sin B\sin C}{4R}$ = $2R^{2}\sin A\sin B\sin C$
Và từ điều kiện của bài toán, ta có S = $2R^{2}\sin A\sin B$
Do đó, ta có thể thấy rằng $\sin C = 1$ và từ đó $\widehat{C}$ = 90$^o$.
Vậy tam giác ABC là tam giác vuông tại C.