Bài tập 3.14. Cho tam giác ABC có hai trung tuyến kẻ từ A và B vuông góc.Chứng minh rằng:a) $a^{2}...

Để giải bài toán trên, ta sẽ sử dụng các định lí trong hình học và biện luận logic như sau:

a) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
Ta có hai trung tuyến AM và BN, ta có AG = $\frac{2}{3}$AM, BG = $\frac{2}{3}$BN.
Theo định lí Pythagoras trong tam giác ABC:
$c^{2} = AB^{2} = AG^{2} + BG^{2} = \frac{4}{9}(\frac{b^{2}+c^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{4}) + \frac{4}{9}(\frac{c^{2}+a^{2}}{2}-\frac{b^{2}}{4})$
$c^{2} =\frac{a}{9}(c^{2}+\frac{a^{2}+b^{2}}{4})$
Suy ra $5c^{2}=a^{2}+b^{2}$.

b) Từ kết quả đã chứng minh ở câu a), ta có thể tính được $cot C$ và $2(cot A + cot B)$ như sau:
$cot C = \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{4S} = \frac{c^{2}}{S}$
$2(cot A + cot B) = 2(\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{4S} + \frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{4S}) = \frac{c^{2}}{S}$.
Vậy ta có $cot C = 2(cot A + cot B)$.

Như vậy, câu trả lời cho câu hỏi toán lớp 10 trên là:
a) $a^{2} + b^{2} = c^{2}$;
b) $cot C = 2(cot A + cot B)$.