Bài tập 3.45. Cho tam giác ABC có $\widehat{B} = 15^{o}, \widehat{C} = 30^{o}$ và c = 2.a) Tính số...

Phương pháp giải:
a) Ta tính được số đo góc A bằng cách sử dụng tổng số đo các góc trong tam giác:
$\widehat{A} = 180^{o} - \widehat{B} - \widehat{C} = 180^{0} - 15^{o} - 30^{o} = 135^{o}$
Sau đó áp dụng định lí sin trong tam giác để tính độ dài các cạnh a và b:
$\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC}$
$\Rightarrow \frac{a}{sin135} = \frac{b}{sin15} = \frac{c}{sin30} = 4$
$\Rightarrow a = 4sin135 = 2\sqrt{2}$, $b = 4sin15 = \sqrt{6}-\sqrt{2}$

b) Để tính diện tích tam giác, áp dụng công thức $S = \frac{1}{2}ac.sinB$. Thay vào các giá trị ta có:
$S = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot (\sqrt{6}-\sqrt{2}) \cdot sin30 = -1 + \sqrt{3}$
Đồng thời tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng công thức $R = \frac{abc}{4S}$:
$R = \frac{2\sqrt{2} \cdot (\sqrt{6}-\sqrt{2}) \cdot 2}{4 \cdot (-1+\sqrt{3})} = 2$

c) Để tính độ dài CD, ta nhận thấy tam giác BCD là tam giác cân tại D với $BC = 2\sqrt{2}$.
Gọi I là trung điểm của BC, ta có $IB = IC = \frac{1}{2}BC = \sqrt{2}$.
Xét tam giác CDI vuông tại I, ta sử dụng công thức tính cạnh huyền trong tam giác vuông để tính độ dài CD:
$CD = \frac{CI}{cos\widehat{ICD}} = \frac{\sqrt{2}}{cos15} = -2 + 2\sqrt{3}$

Trả lời chi tiết:
a) $\widehat{A} = 135^{o}$, $a = 2\sqrt{2}$, $b = \sqrt{6}-\sqrt{2}$
b) Diện tích tam giác là $-1 + \sqrt{3}$, bán kính đường tròn ngoại tiếp là 2
c) Độ dài CD là $-2 + 2\sqrt{3}$