Bài tập 1. Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Tìm tọa độ...

Để giải bài toán này, ta cần chuyển các phương trình cho trước về dạng chuẩn của phương trình đường tròn là $x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0$, sau đó kiểm tra điều kiện để xác định xem đâu là phương trình đường tròn.

1. Phương trình $x^{2} + y^{2} + 2x + 2y - 9 = 0$:
Chuyển về dạng chuẩn, ta được: $x^{2} + y^{2} - 2(-1)x - 2(-1)y - 9 = 0$
So sánh với dạng chuẩn, ta có $a = -1$, $b = -1$, $c = -9$.
Tính: $a^{2} + b^{2} - c = 1 + 1 + 9 = 11 > 0$
Vậy phương trình này là phương trình đường tròn.

2. Phương trình $x^{2} + y^{2} - 6x - 2y + 1 = 0$:
Chuyển về dạng chuẩn, ta được: $x^{2} + y^{2} - 2(3)x - 2(1)y + 1 = 0$
So sánh với dạng chuẩn, ta có $a = 3$, $b = 1$, $c = 1$.
Tính: $a^{2} + b^{2} - c = 9 + 1 - 1 = 9 > 0$
Vậy phương trình này cũng là phương trình đường tròn.

3. Phương trình $x^{2} + y^{2} + 8x + 4y + 2 022 = 0$:
Chuyển về dạng chuẩn, ta được: $x^{2} + y^{2} - 2(-4)x - 2(-2)y + 2 022 = 0$
So sánh với dạng chuẩn, ta có $a = -4$, $b = -2$, $c = 2 022$.
Tính: $a^{2} + b^{2} - c = 16 + 4 - 2 022 < 0$
Vậy phương trình này không là phương trình đường tròn.

4. Phương trình $3x^{2} + 2y^{2} + 5x + 7y - 1 = 0$:
Phương trình này không thể chuyển về dạng chuẩn của phương trình đường tròn vì hệ số trước $x^{2}$ và $y^{2}$ không bằng nhau.

Vậy, kết luận là phương trình đường tròn trong các phương trình trên là:
a) $x^{2} + y^{2} + 2x + 2y - 9 = 0$, với tọa độ tâm là $(-1, -1)$ và bán kính là $\sqrt{11}$.
b) $x^{2} + y^{2} - 6x - 2y + 1 = 0$, với tọa độ tâm là $(3, 1)$ và bán kính là $3$.