Bài 8: Phương trình quy về phương trình bậc hai
Bài 8: Phương trình quy về phương trình bậc hai
Trong bài 8 này, chúng ta sẽ giải các phương trình bậc hai trong dạng tổng quát $ax^4 + bx^2 + c = 0$. Để hiểu rõ hơn, hãy xem cách giải phương trình $x^4 - 5x^2 - 6 = 0$.
Đầu tiên, chúng ta biến đổi phương trình ban đầu thành $(x^2 + 1)(x^2 - 6) = 0$. Từ đó, suy ra $x^2 = 6$ và nghiệm là $x = \pm \sqrt{6}$.
Có thể đưa phương trình $x^4 - 5x^2 - 6 = 0$ về dạng giải phương trình bậc hai. Để làm điều này, chúng ta đặt $x^2 = t$ và giải phương trình $8t^2 - t - 7 = 0$. Từ đó, suy ra $t = 1$ và nghiệm là $x = \pm 1$.
Chúng ta cũng giải các phương trình trùng phương khác như $4x^4 + 7x^2 -2 = 0$. Để giải, chúng ta đặt $x^2 = t$ và thu được phương trình $4t^2 + 7t - 2 = 0$. Nghiệm là $t = \frac{1}{4}$ và $x = \pm \frac{1}{2}$.
Đến phần sau, chúng ta giải phương trình $2 - \frac{x - 7}{x - 5} = \frac{x - 5}{x^2 - 5x} - \frac{1}{x}$ bằng cách khử mẫu và biến đổi. Kết quả là phương trình $x^2 - 3x - 10 = 0$ với nghiệm là $x = -2$.
Tiếp theo, chúng ta giải phương trình $\frac{x^2 - 3x + 6}{x^2 - 9} = \frac{1}{x - 3}$ bằng cách khử mẫu và biến đổi. Phương trình cuối cùng cũng được giải bằng cách đưa về phương trình bậc hai và tìm nghiệm.
Bài học này giúp chúng ta nắm vững kiến thức về phương trình bậc hai và cách giải quy về dạng tổng quát. Hi vọng các em học sinh sẽ thấy dễ hiểu và áp dụng thành thạo trong việc giải các bài tập tương tự.
Bài tập và hướng dẫn giải
C. Hoạt động luyện tập
Câu 1: Trang 56 sách toán VNEN lớp 9 tập 2
Giải các phương trình sau:
a) $2x^4 + x^2 - 1 = 0$
b) $x^4 - 13x^2 +30 = 0$
c) $12x^4 - 5x^2 -7 = 0$
d) $2x^4 + 5x^2 + 2 = 0$
e) $4,5x^4 + 4x^2 - \frac{1}{2}$
g) $2x^2 + 1 = \frac{1}{x^2} - 4$
Câu 2: Trang 57 sách toán VNEN lớp 9 tập 2
Giải các phương trình sau:
a) $\frac{4x}{x + 2} = \frac{x+1}{x-2}$
b) $\frac{2x-1}{x} +3 =\frac{x+3}{2x-1}$
c) $\frac{x-2}{x}+\frac{x}{x-1}-\frac{11}{6} = 0$
d) $\frac{2x}{x-2}-\frac{5}{x-3}=\frac{5}{x^2-5x+6}$
e) $\frac{1}{3x^2-27} +\frac{3}{4}=1+\frac{1}{x-3}$
Câu 3: Trang 57 sách toán VNEN lớp 9 tập 2
Giải các phương trình sau:
a) $(4x^2 - 25)(2x^2 - 7x -9) = 0$
b) $(x+3)(x^2-3x+5)=0$
c) $(3x^2-11x-14)[2x^2+(1-\sqrt{3})x +3-\sqrt{3}] = 0$
Câu 4: Trang 57 toán VNEN 9 tập 2
Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích:
a) $x^3-5x^2-2x+10=0$
b) $x^5+2x^3-x^2-2=0$
c) $(2x^2-5x+1)^2 = (x^2-5x+6)^2$
d) $(2x^2-3)^2-4(x-1)^2=0$
D. Hoạt động vận dụng
Nam và Bình được đại diện cho trường tham gia cuộc thi chạy ma-ra-thong hạng 10km. Họ xuất phát cùng nhau với cùng vận tốc là x km/h. Sau khi chạy được 2km, Nam tăng vận tốc của mình thêm 1km/h và chạy quãng đường còn lại với vận tốc không đổi là (x+1) km/h. Bình vẫn duy trì vận tốc của mình trong cả đường đua. Kết quả là Nam về đích sớm hơn Bình 40 phút.
a) Viết biểu thức biểu thị thời gian mà Nam hoàn thành quãng đường đua theo biến x.
b) Kết quả cuộc đua cho thấy Nam đã về đích sớm hơn Bình 40 phút. Lập phương trình ẩn x thể hiện giả thiết này và chỉ ra rằng nó có thể được thu gọn thành phương trình bậc hai: $x^2+x-12=0$
c) Giải phương trình $x^2+x-12=0$ để tìm vận tốc xuất phát của Nam và Bình.
E. Hoạt động tìm tòi, mở rộng
Giải mỗi phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ
1. $(6x^2-7x)^2-2(6x^2-7x)-3=0$
2. $(x^2-x)^2-8(x^2-x)+12=0$
3. $(x+2)^2(x^2+4x)=5$
4. $(x+1)(x+4)(x^2+5x+6)=24$
5.$x-3\sqrt{x} = 5\sqrt{x}-7$
6.$(\frac{2x-1}{x-2})^2 -4\times (\frac{2x-1}{x+2}) +3 =0$
7. $x-2-2\sqrt{x-2}=0$