Luyện tập 3.Chứng minh $16^{n}– 15n – 1$ chia hết cho 225 với mọi n ∈ℕ*.

Phương pháp giải:

- Đầu tiên, ta chứng minh cho n = 1. Khi đó, ta có: $16^{1} - 15 \times 1 - 1 = 0$. Vì $0$ chia hết cho $225$, nên mệnh đề đúng với n = 1.

- Giả sử mệnh đề đúng với n = k, tức là $16^{k} - 15k - 1$ chia hết cho $225$.

- Ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1.

- Khi đó, ta có: $16^{k+1} - 15(k + 1) - 1 = 16 \times 16^{k} - 15k - 16 = 16 \times 16^{k} - (240k - 225k) - 16 = 16 \times 16^{k} - 240k + 225k - 16 = 16 \times 16^{k} - 240k - 16 + 225k = 16(16^{k} - 15k - 1) + 225k$.

- Vì $16^{k} - 15k - 1$ chia hết cho $225$ và $225k$ cũng chia hết cho $225$, nên $16(16^{k} - 15k - 1) + 225k$ cũng chia hết cho $225$.

- Do đó, mệnh đề cũng đúng với n = k + 1.

- Với nguyên lí quy nạp toán học, ta kết luận rằng mệnh đề đã cho đúng với mọi $n \in \mathbb{N}^{*}$.

Vậy câu trả lời cho câu hỏi trên là: $16^{n} - 15n - 1$ chia hết cho $225$ với mọi $n \in \mathbb{N}^{*}$.