Luyện tập 1.Chứng minh rằng với mọi n ∈ ℕ*ta...

Phương pháp giải bài toán:
a) Để chứng minh mệnh đề $a$, ta sử dụng phương pháp quy nạp toán học:
- Khi n = 1, ta có $\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} = \sqrt{2}-1 = \sqrt{1+1}-1$, mệnh đề đúng.
- Giả sử với một số nguyên dương k bất kỳ, ta có $\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} = \sqrt{k+1}-1$.
- Khi đó, ta cần chứng minh khi n = k + 1 thì mệnh đề cũng đúng.
- Tổng cần chứng minh sẽ là: $\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k+2}} = \sqrt{k+2}-1$.
- Ta dùng phương pháp đặt $\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k+2}}$ thành $\frac{\sqrt{k+2}-\sqrt{k+1}}{\sqrt{(k+1)^2}-(k+1)}$, rồi rút gọn và chứng minh theo bước quy nạp.

b) Để chứng minh mệnh đề $b$, ta cũng sử dụng phương pháp quy nạp:
- Khi n = 2, ta có $\frac{7}{9} = \frac{2(2^2+2+1)}{3*2(2+1)}$, mệnh đề đúng.
- Giả sử với một số nguyên dương k bất kỳ, ta có $\frac{2^3-1}{2^3+1}*\frac{3^3-1}{3^3+1}*...*\frac{k^3-1}{k^3+1} = \frac{2(k^2+k+1)}{3k(k+1)}$.
- Khi đó, ta cần chứng minh khi n = k + 1 thì mệnh đề cũng đúng.
- Tính tử số và mẫu số của $\frac{(k+1)^3-1}{(k+1)^3+1}$ và rút gọn, chứng minh theo bước quy nạp.

Kết luận:
- Ta đã chứng minh mệnh đề $a$ và $b$ đúng với mọi n ∈ ℕ* bằng phương pháp quy nạp toán học.