Giải bài tập chuyên đề toán lớp 10 cánh diều bài 1 Phương pháp quy nạp toán học

Hướng dẫn giải bài toán số học bài 1 trang 23 sách Giải bài tập chuyên đề toán lớp 10 cánh diều

Trong sách chuyên đề toán lớp 10 cánh diều, bài toán số học bài 1 trang 23 được giải theo phương pháp quy nạp toán học. Bộ sách này được biên soạn nhằm giúp các em phát triển năng lực vận dụng trí thức một cách hiệu quả. Hướng dẫn giải bài toán cung cấp cách giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm bài học một cách tốt hơn. Hy vọng rằng với sự hướng dẫn cụ thể và giải thích chi tiết, các em sẽ có thêm kiến thức và tự tin hơn khi giải các bài toán số học.

Bài tập và hướng dẫn giải

Câu hỏi: Chia hình vuông cạnh 1 thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, lấy ra hình vuông nhỏ thứ nhất (ở góc dưới bên trái, màu đỏ), cạnh của hình vuông đó bằng $\frac{1}{2}$.

Chia hình vuông nhỏ ở góc trên bên phải thành bốn hình vuông bằng nhau, lấy ra hình vuông nhỏ thứ hai (màu đỏ), cạnh của hình vuông đó bằng $\frac{1}{4}$

Tiếp tục quá trình trên ta được dãy các hình vuông nhỏ (màu đỏ) ở Hình 1.

Cạnh của hình vuông nhỏ thứ n (màu đỏ) bằng bao nhiêu? Vì sao?Giải khởi động trang 23 Chuyên đề toán lớp 10 cánh diều

Trả lời: Để giải bài toán này, ta nhận thấy rằng sau mỗi bước chia hình vuông cạnh 1 thành 4 hình vuông nhỏ... Xem hướng dẫn giải chi tiết

I. Phương pháp quy nạp toán học

Hoạt động: Xét mệnh đề chứa biến P(n) : "1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n$^{2}$" với n là số nguyên dương.

a) Chứng tỏ rằng P(1) là mệnh đề đúng.

b) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà P(k) là mệnh đề đúng, cho biết 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) bằng bao nhiêu.

c) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà P(k) là mệnh đề đúng, chứng tỏ rằng P(k+1) cũng là mệnh đề đúng bằng cách chỉ ra $k^{2} + [2(k + 1) – 1] = (k+1)^{2}$.

Trả lời: Để chứng minh câu hỏi trên, ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp toán học.a) Ta có P(1): "1 = 1$^{2}$".... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Luyện tập 1. Chứng minh rằng với mọi n ∈ ℕ* ta có

$a) \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-1$

$b)\frac{2^{3}-1}{2^{3}+1}\times\frac{3^{3}-1}{3^{3}+1}\times\frac{4^{3}-1}{4^{3}+1}...\frac{n^{3}-1}{n^{3}+1}=\frac{2(n^{2}+n+1}{3n(n+1)}$

Trả lời: Phương pháp giải bài toán:a) Để chứng minh mệnh đề $a$, ta sử dụng phương pháp quy nạp toán học:-... Xem hướng dẫn giải chi tiết

II. Áp dụng

Luyện tập 2. Chứng minh với mọi n ∈ ℕ*, $(1+\sqrt{2})^{n},(1-\sqrt{2})^{n}$ lần lượt viết được ở dạng $a_{n}+b_{n}\sqrt{2}, a_{n}-b_{n}\sqrt{2}$ , trong đó an, bn là các số nguyên dương.

Trả lời: Phương pháp giải:Để chứng minh rằng $(1+\sqrt{2})^{n}$ và $(1-\sqrt{2})^{n}$ lần lượt viết được ở... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Luyện tập 3. Chứng minh $16^{n} – 15n – 1$ chia hết cho 225 với mọi n ∈ ℕ*.

Trả lời: Phương pháp giải:- Đầu tiên, ta chứng minh cho n = 1. Khi đó, ta có: $16^{1} - 15 \times 1 - 1 = 0$.... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập

Bài tập 1. Cho $Sn = 1 + 2 + 2^{2} +... + 2^{n}$ và $Tn = 2^{n+1} – 1$, với n ∈ ℕ*.

a) So sánh S1 và T1; S2 và T2; S3 và T3.

b) Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học

Trả lời: Để giải bài toán trên, ta sẽ thực hiện từng bước như sau:a) - Thay n = 1 vào công thức ta có: $S1 =... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 2. Cho $Sn=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+...+\frac{1}{2^{n}}$ và $Tn=2-\frac{1}{2^{n}}$ với n ∈ ℕ*.

a) So sánh S1 và T1; S2 và T2; S3 và T3.

b) Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Trả lời: Để giải bài toán trên, ta thực hiện như sau:a) Ta tính giá trị của $S_n$ và $T_n$ với $n = 1, 2,... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 3. Cho $Sn=\frac{1}{1\times 5}+\frac{1}{5\times 9}+\frac{1}{9\times 13}+...+\frac{1}{(4n-3)(4n+1)}$, với n ∈ ℕ*.

a) Tính S1, S2, S3, S4.

b) Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Trả lời: a) Để tính các giá trị S1, S2, S3, S4 ta thay n lần lượt bằng 1, 2, 3, 4 vào công thức... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 4. Cho q là số thực khác 1. Chứng minh: $1 + q + q^{2} +... + q^{n-1}=\frac{1-q^{n}}{1-q}$ với n ∈ ℕ*.

Trả lời: Để chứng minh mệnh đề đã cho, ta sử dụng phương pháp quy nạp như sau:- Bước cơ sở: Khi n = 1, ta có... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 5. Chứng minh với mọi n ∈ ℕ*, ta có:

a) $4^{n} + 15n – 1$ chia hết cho 9;

b) $13^{n} – 1$ chia hết cho 6.

Trả lời: Phương pháp giải câu hỏi trên sử dụng phương pháp quy nạp toán học. a) Chứng minh với mọi \( n \in... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 6. Chứng minh $n^{n} > (n + 1)^{n – 1}$ với n ∈ ℕ*, n ≥ 2.

Trả lời: Để chứng minh $n^{n} > (n + 1)^{n-1}$ với $n \in \mathbb{N}^{*}$, $n \geq 2$, ta sử dụng phương pháp... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 7. Chứng minh $a^{n} – b^{n} = (a – b)(a^{n – 1} + a^{n – 2}b + ... + ab^{n –2} + b^{n – 1})$ với n ∈ ℕ*.

Trả lời: Để chứng minh mệnh đề $a^{n} – b^{n} = (a – b)(a^{n – 1} + a^{n – 2}b + ... + ab^{n – 2} + b^{n –... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 8. Cho tam giác đều màu xanh (Hình thứ nhất).

a) Nêu quy luật chọn tam giác đều màu trắng ở Hình thứ hai.

b) Nêu quy luật chọn các tam giác đều màu trắng ở Hình thứ ba.

c) Nêu quy luật tiếp tục chọn các tam giác đều màu trắng từ Hình thứ tư và các tam giác đều màu trắng ở những hình sau đó.

d) Tinh số tam giác đều màu xanh lần lượt trong các Hình thứ nhất, Hình thú hai, Hình thứ ba.

e) Dự đoán số tam giác đều màu xanh trong Hình thứ n. Chứng minh kết quả đó bằng phương pháp quy nạp toán học.

Giải bài tập 8 trang 29 Chuyên đề toán lớp 10 cánh diều

Trả lời: Phương pháp giải:a) Tam giác đều màu trắng ở Hình thứ hai có đỉnh là trung điểm của các cạnh của tam... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 9. Quan sát hình 6.

Giải bài tập  trang 30 Chuyên đề toán lớp 10 cánh diều

a) Nêu quy luật sắp xếp các chấm đỏ và vàng xen kẽ nhau khi xếp các chấm đó từ góc trên bên trái xuống góc dưới bên phải (tạo thành hình vuông).

b) Giả sử hình vuông thứ n có mỗi cạnh chứa n chấm. Tinh tổng số chấm được xếp trong hình vuông (kể cả trên cạnh). Chứng minh kết quả đó bằng phương pháp quy nạp toán học.

Trả lời: a) Phương pháp giải:- Để quy luật sắp xếp các chấm, ta tiếp tục nhận thấy rằng sau mỗi lượt xếp, số... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 10. Giả sử năm đầu tiên, cô Hạnh gửi vào ngân hàng A (đồng) với lãi suất r%/năm. Hết năm đầu tiên, cô Hạnh không rút tiền ra và gửi thêm A (đồng) nữa. Hết năm thứ hai, cô Hạnh cũng không rút tiền ra và lại gửi thêm A (đồng) nữa. Cứ tiếp tục như vậy cho những năm sau. Chứng minh số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau n (năm) là $Tn=\frac{A(100+r)}{r}[(1+\frac{r}{100})^{n}-1]$ (đồng), nếu trong khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi.

Trả lời: Để chứng minh số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau n (năm) là $Tn=\frac{A(10... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 11. Một người gửi số tiền A (đồng) vào ngân hàng. Biểu lãi suất của ngân hàng như sau: Chia mỗi năm thành m kì hạn và lãi suất r%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thi cứ sau mỗi kì hạn, số tiển lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu. Chứng minh số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau n (năm) gửi là $Sn=A(1+\frac{r}{100m})^{m\times n}$ (đồng), nếu trong khoảng thời gian này người gửi không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi.

Trả lời: Để giải bài toán trên, ta sử dụng phương pháp quy nạp toán học như sau:Ta giả sử mệnh đề P(x): "Số... Xem hướng dẫn giải chi tiết
FREE học Tiếng Anh
0.65469 sec| 2245.078 kb