Bài tập 4.Cho q là số thực khác 1. Chứng minh: $1 + q + q^{2}+... +...

Để chứng minh mệnh đề đã cho, ta sử dụng phương pháp quy nạp như sau:

- Bước cơ sở: Khi n = 1, ta có $1 = \frac{1-q}{1-q} = \frac{1-q}{1-q^{1}}$. Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

- Bước giả thiết quy nạp: Giả sử mệnh đề đúng với k, tức là $1 + q + q^{2} + ... + q^{k-1} = \frac{1-q^{k}}{1-q}$.

- Bước chứng minh quy nạp: Ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là $1 + q + q^{2} + ... + q^{k-1} + q^{k} = \frac{1-q^{k+1}}{1-q}$.

Ta có:
$1 + q + q^{2} + ... + q^{k-1} + q^{k} = (1 + q + q^{2} + ... + q^{k-1}) + q^{k} = \frac{1-q^{k}}{1-q} + q^{k} = \frac{1-q^{k}}{1-q} + \frac{q^{k}(1-q)}{1-q} = \frac{1-q^{k}}{1-q} + \frac{q^{k}-q^{k+1}}{1-q} = \frac{(1-q^{k})+(q^{k}-q^{k+1})}{1-q} = \frac{1-q^{k+1}}{1-q}$.

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ*.

Vậy kết luận, ta đã chứng minh được $1 + q + q^{2} + ... + q^{n-1} = \frac{1-q^{n}}{1-q}$ với mọi n ∈ ℕ*, khi q là số thực khác 1.