Giải bài tập chuyên đề toán lớp 10 cánh diều bài 1 hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Khởi động

Câu hỏi: Trong kho tàng văn hoá dân gian Việt Nam có bài toán về Trâu ăn cỏ như sau:

Trâu đứng ăn năm,

Trâu nằm ăn ba,

Lụ khụ trâu già,

Ba con một bó,

Trăm con ăn cỏ,

Trăm bó no nê.

Hỏi có bao nhiêu trâu đứng, trâu nằm, trâu già?

I. Các định nghĩa

1. Phương trình bậc nhất ba ẩn

Hoạt động 1. Cho phương trình: 2x + y – 3z = 1 (1).

a) Nêu các ẩn của phương trình (1).

b) Với mỗi ẩn của phương trình (1), xác định bậc của ẩn đó.

2. Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Hoạt động 2. Cho hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}3x+2y-5z=-4\\ -x+3y+5z=5\\ 2x+7y-3z=3\end{matrix}\right.$ (*)

a) Mỗi phương trình của hệ (*) là phương trình có dạng như thế nào?

b) Bộ số (x; y; z) = (–2; 1; 0) có là nghiệm của từng phương trình trong hệ (*) hay không? Vì sao?

Hoạt động 3. Nêu định nghĩa hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn tương đương.

II. Giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng phương pháp Gauss

Hoạt động 4. Giải hệ phương trình sau: $\left\{\begin{matrix}x+2y-z=-4 (1)\\ 4y-3z=-13 (2)\\ -5z=-15 (3)\end{matrix}\right.$ (III)

Hoạt động 5. Giải hệ phương trình sau:$\left\{\begin{matrix}x+2y-z=-1 (1)\\ x-2y+2z=9 (2)\\ 2x+y-z=-2 (3)\end{matrix}\right.$ (IV)

Luyện tập 1. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}4x+y-3z=11\\ 2x-3y+2z=9\\ x+y+z=-3\end{matrix}\right.$

Luyện tập 2. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}x+2y+6z=5\\ -x+y-2z=3\\ x-4y-2z=13\end{matrix}\right.$

Luyện tập 3. Giải hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix}x+y-3z=-1\\ y-z=0\\ -x+2y=1\end{matrix}\right.$

III. Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Luyện tập 4. Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}2x-3y+4z=-5\\ -4x+5y-z=6\\ 3x+4y-3z=7\end{matrix}\right.$

Bài tập

Bài tập 1. Kiểm tra xem mỗi bộ số (x; y; z) đã cho có là nghiệm của hệ phương trình tương ứng hay không.

a) $ \left\{\begin{matrix}3x+3y+2z=1\\ 5x-y+3z=16\\ -3x+7y+z=-14\end{matrix}\right.$  (0; 3; -2), (12; 5; -13), (1; -2; 3);

b) $\left\{\begin{matrix}3x-y+4z=-10\\ -x+y+2z=6\\ 2x-y+z=-8\end{matrix}\right.$  (-2; 4; 0), (0; -3; 10), (1; -1; 5)

c) $\left\{\begin{matrix}x+y+z=100\\ 5x+3y+\frac{1}{3}z=100\end{matrix}\right.$  (4; 18; 78), (8; 11; 81), (12; 4; 84)

Bài tập 2. Giải hệ phương trình:

a) $\left\{\begin{matrix}x-2y+4z=4\\ 3y-z=2\\ 2z=-10\end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}4x+3y-5z=-7\\ 2y=4\\ y+z=3\end{matrix}\right.$

c) $\left\{\begin{matrix}x+y+2z=0\\ 3x+2y=2\\ x=10\end{matrix}\right.$

Bài tập 3. Giải hệ phương trình:

a) $\left\{\begin{matrix}3x-y-2z=5\\ 2x+y+3z=6\\ 6x-y-4z=9\end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}x+2y+6z=5\\ -z+y-2z=3\\ x-4y-2z=1\end{matrix}\right.$

c) $\left\{\begin{matrix}x+4y-2z=2\\ -3x+y+z=-2\\ 5x+7y-5z=6\end{matrix}\right.$

Bài tập 4. Tìm số đo ba góc của một tam giác, biết tổng số đo của góc thứ nhất và góc thứ hai bằng hai lần số đo của góc thứ ba, số đo của góc thứ nhất lớn hơn số đo của góc thứ ba là $20^{\circ}.$

Bài tập 5. Bác Thanh chia số tiền 1 tỉ đồng của mình cho ba khoản đầu tư. Sau một năm, tổng số tiền lãi thu được là 84 triệu đồng. Lãi suất cho ba khoản đầu tư lần lượt là 6%, 8%, 15% và số tiền đầu tư cho khoản thứ nhất bằng tổng số tiền đầu tư cho khoản thứ hai và thứ ba. Tính số tiền bác Thanh đầu tư cho mỗi khoản.

Bài tập 6. Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt độ cao nào đó rồi rơi xuống. Biết quỹ đạo chuyển động của quả bóng là một parabol và độ cao h của quả bóng được tính bởi công thức $h=\frac{1}{2}at^{2}+v_{0}t+h_{0}$, trong đó độ cao h và độ cao ban đầu  được tính bằng mét, t là thời gian của chuyển động tính bằng giây, a là gia tốc của chuyển động tính bằng $m/s^{2}$, v0 là vận tốc ban đầu được tính bằng m/s. Tìm a, v0, h0 biết sau 0,5 giây quả bóng đạt được độ cao 6,075 m; sau 1 giây quả bóng đạt độ cao 8,5 m; sau 2 giây quả bóng đạt độ cao 6 m.

Bài tập 7. Một cửa hàng bán đồ nam gồm áo sơ mi, quần âu và áo phông. Ngày thứ nhất bán được 22 áo sơ mi, 12 quần âu và 18 áo phông, doanh thu là 12 580 000 đồng. Ngày thứ hai bán được 16 áo sơ mi, 10 quần âu và 20 áo phông, doanh thu là 10 800 000 đồng. Ngày thứ ba bán được 24 áo sơ mi, 15 quần âu và 12 áo phông, doanh thu là 12 960 000 đồng. Hỏi giá bán mỗi áo sơ mi, mỗi quần âu và mỗi áo phông là bao nhiêu? Biết giá từng loại trong ba ngày không thay đổi.

Bài tập 8. Ba nhãn hiệu bánh quy là  được cung cấp bởi một nhà phân phối. Với tỉ lệ thành phần dinh dưỡng theo khối lượng, bánh quy nhãn hiệu A chứa 20% protein, bánh quy nhãn hiệu  chứa  protein và bánh quy nhãn hiệu  chứa 30% protein. Một khách hàng muốn mua một đơn hàng như sau:

• Mua tổng cộng 224 cái bánh quy bao gồm cả ba nhãn hiệu A, B, C.
• Lượng protein trung bình của đơn hàng này (gồm cả ba nhãn hiệu A, B, C) là 25%.
• Lượng bánh nhãn hiệu A gấp đôi lượng bánh nhãn hiệu C.

Tính lượng bánh quy mỗi loại mà khách hàng đó đặt mua.

Bài tập 9. Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của các hệ phương trình sau:

a) $\left\{\begin{matrix}-x+2y-3z=2\\ 2x+y+2z=-3\\ -2x-3y+z=5\end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}x-3y+z=1\\ 5y-4z=0\\ x+2y-3z=-1\end{matrix}\right.$

c) $\left\{\begin{matrix}x+y-3z=-1\\ 3x-5y-z=-3\\ -x+4y-2z=1\end{matrix}\right.$