Bài tậpBài tập 1.Cho $Sn= 1 + 2 + 2^{2}+... + 2^{n}$và $Tn=...
Câu hỏi:
Bài tập
Bài tập 1. Cho $Sn = 1 + 2 + 2^{2} +... + 2^{n}$ và $Tn = 2^{n+1} – 1$, với n ∈ ℕ*.
a) So sánh S1 và T1; S2 và T2; S3 và T3.
b) Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Hồng Hưng
Để giải bài toán trên, ta sẽ thực hiện từng bước như sau:a) - Thay n = 1 vào công thức ta có: $S1 = 1 + 2^{1} = 3, T1 = 2^{1+1} - 1 = 3$- Thay n = 2 vào công thức ta có: $S2 = 1 + 2 + 2^{2} = 7, T2 = 2^{2+1} - 1 = 7$- Thay n = 3 vào công thức ta có: $S3 = 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} = 15, T3 = 2^{3+1} - 1 = 15$Vậy ta có: S1 = T1, S2 = T2, S3 = T3.b) - Đặt giả thiết Sn = Tn với n thuộc N*.- Khi n = 1, ta thấy mệnh đề đúng. - Giả sử đúng với k, tức là Sk = Tk.- Chứng minh với k + 1, tức là Sk+1 = Tk+1.Thực hiện các bước tương tự như trên, ta có thể chứng minh được mệnh đề đúng với mọi n thuộc N*.Vậy kết luận cuối cùng là: $Sn = Tn = 2^{n + 1} - 1$ với n thuộc N*.
Câu hỏi liên quan:
- Câu hỏi:Chia hình vuông cạnh 1 thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, lấy ra hình vuông nhỏ thứ...
- I. Phương pháp quy nạp toán họcHoạt động:Xét mệnh đề chứa biến P(n) : "1 + 3 + 5 + ... + (2n...
- Luyện tập 1.Chứng minh rằng với mọi n ∈ ℕ*ta...
- II. Áp dụngLuyện tập 2.Chứng minh với mọi n ∈ℕ*, $(1+\sqrt{2})^{n}...
- Luyện tập 3.Chứng minh $16^{n}– 15n – 1$ chia hết cho 225 với mọi n ∈ℕ*.
- Bài tập 2. Cho $Sn=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+...+\frac{1}{2^{n}}$ và $Tn=2-\frac{1}{2^{n}}$ với...
- Bài tập 3.Cho $Sn=\frac{1}{1\times 5}+\frac{1}{5\times 9}+\frac{1}{9\times...
- Bài tập 4.Cho q là số thực khác 1. Chứng minh: $1 + q + q^{2}+... +...
- Bài tập 5.Chứng minh với mọi n ∈ ℕ*, ta có:a) $4^{n}+ 15n – 1$ chia hết cho 9;b)...
- Bài tập 6.Chứng minh $n^{n}> (n + 1)^{n – 1}$với n ∈ℕ*, n ≥ 2.
- Bài tập 7.Chứng minh $a^{n}– b^{n}= (a – b)(a^{n– 1}+ a^{n– 2}b...
- Bài tập 8.Cho tam giác đều màu xanh (Hình thứ nhất).a) Nêu quy luật chọn tam giác đều màu...
- Bài tập 9. Quan sát hình 6.a) Nêu quy luật sắp xếp các chấm đỏ và vàng xen kẽ nhau khi xếp các chấm...
- Bài tập 10.Giả sử năm đầu tiên, cô Hạnh gửi vào ngân hàng A (đồng) với lãi suất r%/năm. Hết...
- Bài tập 11.Một người gửi số tiền A (đồng) vào ngân hàng. Biểu lãi suất của ngân hàng như sau:...
Bình luận (0)