Bài tập 6.Chứng minh $n^{n}> (n + 1)^{n – 1}$với n ∈ℕ*, n ≥ 2.

Để chứng minh $n^{n} > (n + 1)^{n-1}$ với $n \in \mathbb{N}^{*}$, $n \geq 2$, ta sử dụng phương pháp quy nạp.

- Bước cơ sở: Khi $n = 2$, ta có: $2^{2} > (2 + 1)^{2-1} \Leftrightarrow 4 > 3$. Vậy mệnh đề đúng với $n = 2$.

- Bước giả sử: Giả sử mệnh đề đúng với một số nguyên dương $k$ tuỳ ý ($k \geq 2$), tức là $k^{k} > (k + 1)^{k-1}$.

- Bước chứng minh: Ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với $k + 1$, tức là $(k + 1)^{k + 1} > [(k + 1) + 1]^{(k + 1) - 1}$.

Thay giả thiết vào mệnh đề cần chứng minh, ta có:
$k^{k} \times (k + 1)^{k + 1} > (k + 1)^{2k} \Rightarrow k^{k} \times (k + 1)^{k + 1} > [(k + 1)^{2}]^{k} \Rightarrow k^{k} \times (k + 1)^{k + 1} > (k^{2} + 2k + 1)^{k} > (k^{2} + 2k)^{k} = [k(k + 2)]^{k} = k^{k} \times (k + 2)^{k} \Rightarrow (k + 1)^{k + 1} > (k + 2)^{k} = (k + 2)^{(k + 1) - 1}$.

Vậy mệnh đề cũng đúng với $n = k + 1$. Theo nguyên lý quy nạp toán học, mệnh đề $n^{n} > (n + 1)^{n-1}$ đúng với mọi $n \in \mathbb{N}^{*}$, $n \geq 2.