Giải bài tập chuyên đề toán lớp 10 cánh diều bài 1 Elip

I. Tính đối xứng của Elip

Hoạt động 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét elip (E) có phương trình chính tắc là $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}$, trong đó a > b > 0 (Hình 2).

a) Tìm toạ độ hai tiêu điểm F1, F2 của (E).

b) (E) cắt trục Ox tại các điểm A1, A2 và cắt trục Oy tại các điểm B1, B2. Tìm độ dài các đoạn thẳng OA2 và OB2.

Hoạt động 2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét elip (E) có phương trình chính tắc là $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ trong đó a > b > 0. Cho điểm M(x; y) nằm trên (E) (Hình 3).

a) Gọi M1 là điểm đối xứng của M qua trục Ox. Tìm toạ độ của điểm M1. Điểm M1 có nằm trên (E) hay không? Tại sao?

b) Gọi M2 là điểm đối xứng của M qua trục Oy. Tìm toạ độ của điểm M2. Điểm M2 có nằm trên (E) hay không? Tại sao?

c) Gọi M3 là điểm đối xứng của M qua gốc O. Tìm toạ độ của điểm M3. Điểm M3 có nằm trên (E) hay không? Tại sao?

II. Hình chữ nhật cơ sở

Hoạt động 3. 

a) Nêu nhận xét về vị trí bốn đỉnh của elip (E) với bốn cạnh của hình chữ nhật cơ sở.

b) Cho điểm M(x; y) thuộc elip (E). Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của x và của y

Luyện tập 1. Viết phương trình chính tắc của elip, biết A1(– 4; 0) và B2(0; 2) là hai đỉnh của nó.

Hoạt động 4. Quan sát elip (E) có phương trinh chính tắc là $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ trong đó a > b > 0 và hình chữ nhật cơ sở PQRS của (E) (Hình 5).

a) Tính tỉ số giữa hai cạnh $\frac{QR}{PQ}$ của hình chữ nhật PQRS.

b) Tỉ số $\frac{QR}{PQ}$ phản ánh đặc điểm gì của (E) về hình dạng?

III. Tâm sai của Elip

Luyện tập 2. Viết phương trình chính tắc của elip (E), biết tiêu cự bằng 12 và tâm sai bằng $\frac{3}{5}$

IV. Bán kính qua tiêu của một điểm thuộc elip

Hoạt động 5. Giả sử đường elip (E) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho MF1 + MF2 = 2a, ở đó F1F2 = 2c với 0 < c < a. Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc là trung điểm của đoạn thẳng F1F2. Trục Oy là đường trung trực của F1F2 và F2 nằm trên tia Ox (Hình 8).

Khi đó, F1(– c; 0), F2(c; 0) là các tiêu điểm của elip (E). Giả sử điểm M(x; y) thuộc elip (E). Chứng minh rằng:

a) $MF1^{2} = x^{2} + 2cx + c^{2} + y^{2}$;

b) $MF2^{2} = x^{2} – 2cx + c^{2} + y^{2};$

c) $MF1^{2} – MF2^{2} = 4cx.$

Hoạt động 6. Sử dụng đẳng thức c) ở trên và đẳng thức MF1 + MF2 = 2a, chứng minh:

a) MF1 – MF2 = $\frac{2c}{a}x$

b) MF1 = a + $\frac{c}{a}x$;

c) MF2 = a – $\frac{c}{a}x$.

Luyện tập 3. Cho elip (E): $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ với tiêu điểm $F2(\sqrt{5};0)$. Tìm toạ độ điểm M ∈ (E) sao cho độ dài F2M nhỏ nhất.

Luyện tập 3. Cho elip (E): $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ với tiêu điểm $F2(\sqrt{5};0)$. Tìm toạ độ điểm M ∈ (E) sao cho độ dài F2M nhỏ nhất.

V. Đường chuẩn của Elip

Hoạt động 7. Cho elip (E) có phương trình chính tắc là $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (a > b > 0). Xét đường thẳng Δ1: x =  $-\frac{a}{e}$

Với mỗi điểm M(x; y) ∈ (E) (Hình 9), tính:

a) Khoảng cách d(M, Δ1) từ điểm M(x; y) đến đường thẳng Δ1.

b) Tỉ số $\frac{MF1}{d(M,\Delta 1)}$

Luyện tập 4. Viết phương trình chính tắc của elip, biết tiêu điểm F2(5; 0) và đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó là x =$\frac{36}{5}$

VI. Liên hệ giữa đường tròn và đường elip

Hoạt động 8. Cho elip (E) có phương trình chính tắc là $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (a > b > 0). Xét đường tròn (C) tâm O bán kính a có phương trình là $x^{2} + y^{2} = a^{2}$.

Xét điểm M(x; y) ∈ (E) và điểm M1(x; y1) ∈ (C) sao cho y và y1 luôn cùng dấu (khi M khác với hai đỉnh A1, A2 của (E)) (Hình 10).

a) Từ phương trình chính tắc của elip (E), hãy tính $y^{2}$ theo $x^{2}$.

Từ phương trình của đường tròn (C), hãy tính $y1^{2}$ theo $x^{2}$.

b) Tính tỉ số $\frac{HM}{HM1}=\frac{y}{y1}$ theo a và b.

VII. Cách vẽ đường Elip

Hoạt động 9. Vẽ elip (E): $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$

Bài tập

Bài tập 1. Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:

a) Độ dài trục lớn bằng 6 và tiêu điểm là F1(–2; 0);

b) Tiêu cự bằng 12 và tâm sai bằng $\frac{3}{5}$;

c) Tâm sai bằng $\frac{\sqrt{5}}{3}$ và chu vi hình chữ nhật cơ sở của (E) bằng 20.

Bài tập 2. Tìm tâm sai của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:

a) Độ dài bán trục lớn gấp hai lần độ dài bán trục bé;

b) Khoảng cách từ một đỉnh trên trục lớn đến một đỉnh trên trục bé bằng tiêu cự.

Bài tập 3. Trái Đất chuyển động quanh Mặt Trời theo một quỹ đạo là đường elip mà Mặt Trời là một tiêu điểm. Biết elip này có bán trục lớn a ≈ 149598261 km và tâm sai e ≈ 0,017. Tìm khoảng cách nhỏ nhất và lớn nhất giữa Trái Đất và Mặt Trời (kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị).

Bài tập 4. Cho elip (E): $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$ Tìm toạ độ điểm M ∈ (E) sao cho độ dài F2M lớn nhất, biết F2 là một tiêu điểm có hoành độ dương của (E).

Bài tập 5. Hình 11 minh hoạ mặt cắt đứng của một căn phòng trong bảo tàng với mái vòm trần nhà của căn phòng đó có dạng một nửa đường elip. Chiều rộng của căn phòng là 16 m, chiều cao của tượng là 4 m, chiều cao của mái vòm là 3 m.

a) Viết phương trình chính tắc của elip biểu diễn mái vòm trần nhà trong hệ trục tọa độ Oxy (đơn vị trên hai trục là mét).

b) Một nguồn sáng được đặt tại tiêu điểm thứ nhất của elip. Cần đặt bức tượng ở vị tri có toạ độ nào để bức tượng sáng rõ nhất? Giả thiết rằng vòm trần phản xạ ánh sáng. Biết rằng, một tia sáng xuất phát từ một tiêu điểm của elip, sau khi phản xạ tại elip thi sẽ đi qua tiêu điểm còn lại.