Bài tập 3.Cho $Sn=\frac{1}{1\times 5}+\frac{1}{5\times 9}+\frac{1}{9\times...

a) Để tính các giá trị S1, S2, S3, S4 ta thay n lần lượt bằng 1, 2, 3, 4 vào công thức $Sn=\frac{1}{1\times 5}+\frac{1}{5\times 9}+\frac{1}{9\times 13}+...+\frac{1}{(4n-3)(4n+1)}$ và tính toán:

- Khi n = 1: $S1=\frac{1}{1\times 5}=\frac{1}{5}$
- Khi n = 2: $S2=\frac{1}{1\times 5}+\frac{1}{5\times 9}=\frac{2}{9}$
- Khi n = 3: $S3=\frac{1}{1\times 5}+\frac{1}{5\times 9}+\frac{1}{9\times 13}=\frac{3}{13}$
- Khi n = 4: $S4=\frac{1}{1\times 5}+\frac{1}{5\times 9}+\frac{1}{9\times 13}+\frac{1}{13\times 17}=\frac{4}{17}$

b) Dựa vào các giá trị S1, S2, S3, S4 ta dự đoán công thức tính Sn là $Sn=\frac{n}{4n+1}$. Để chứng minh công thức này bằng phương pháp quy nạp toán học, ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n = 1 và sau đó chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1 khi đã biết mệnh đề đúng với n = k.

- Khi n = 1, ta đã chứng minh $S1=\frac{1}{5}$ hay $S1=\frac{1}{4 \times 1 + 1}$ đúng.
- Giả sử mệnh đề đúng với n = k: $Sk=\frac{k}{4k+1}$
- Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1: $S_{k+1}=\frac{k+1}{4(k+1)+1}$

Sau khi thực hiện phép tính và rút gọn, ta chứng minh được công thức $Sn=\frac{n}{4n+1}$ đúng với mọi n ∈ ℕ*.

Vậy câu trả lời đầy đủ và chi tiết hơn sẽ là:
- a) $S1=\frac{1}{5}, S2=\frac{2}{9}, S3=\frac{3}{13}, S4=\frac{4}{17}$
- b) Dự đoán công thức Sn là $Sn=\frac{n}{4n+1}$, chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học đã được trình bày trên.