Bài tập 3.Cho $Sn=\frac{1}{1\times 5}+\frac{1}{5\times 9}+\frac{1}{9\times...
Câu hỏi:
Bài tập 3. Cho $Sn=\frac{1}{1\times 5}+\frac{1}{5\times 9}+\frac{1}{9\times 13}+...+\frac{1}{(4n-3)(4n+1)}$, với n ∈ ℕ*.
a) Tính S1, S2, S3, S4.
b) Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Thị Ánh
a) Để tính các giá trị S1, S2, S3, S4 ta thay n lần lượt bằng 1, 2, 3, 4 vào công thức $Sn=\frac{1}{1\times 5}+\frac{1}{5\times 9}+\frac{1}{9\times 13}+...+\frac{1}{(4n-3)(4n+1)}$ và tính toán:- Khi n = 1: $S1=\frac{1}{1\times 5}=\frac{1}{5}$- Khi n = 2: $S2=\frac{1}{1\times 5}+\frac{1}{5\times 9}=\frac{2}{9}$- Khi n = 3: $S3=\frac{1}{1\times 5}+\frac{1}{5\times 9}+\frac{1}{9\times 13}=\frac{3}{13}$- Khi n = 4: $S4=\frac{1}{1\times 5}+\frac{1}{5\times 9}+\frac{1}{9\times 13}+\frac{1}{13\times 17}=\frac{4}{17}$b) Dựa vào các giá trị S1, S2, S3, S4 ta dự đoán công thức tính Sn là $Sn=\frac{n}{4n+1}$. Để chứng minh công thức này bằng phương pháp quy nạp toán học, ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n = 1 và sau đó chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1 khi đã biết mệnh đề đúng với n = k.- Khi n = 1, ta đã chứng minh $S1=\frac{1}{5}$ hay $S1=\frac{1}{4 \times 1 + 1}$ đúng.- Giả sử mệnh đề đúng với n = k: $Sk=\frac{k}{4k+1}$- Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1: $S_{k+1}=\frac{k+1}{4(k+1)+1}$Sau khi thực hiện phép tính và rút gọn, ta chứng minh được công thức $Sn=\frac{n}{4n+1}$ đúng với mọi n ∈ ℕ*. Vậy câu trả lời đầy đủ và chi tiết hơn sẽ là:- a) $S1=\frac{1}{5}, S2=\frac{2}{9}, S3=\frac{3}{13}, S4=\frac{4}{17}$- b) Dự đoán công thức Sn là $Sn=\frac{n}{4n+1}$, chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học đã được trình bày trên.
Câu hỏi liên quan:
- Câu hỏi:Chia hình vuông cạnh 1 thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, lấy ra hình vuông nhỏ thứ...
- I. Phương pháp quy nạp toán họcHoạt động:Xét mệnh đề chứa biến P(n) : "1 + 3 + 5 + ... + (2n...
- Luyện tập 1.Chứng minh rằng với mọi n ∈ ℕ*ta...
- II. Áp dụngLuyện tập 2.Chứng minh với mọi n ∈ℕ*, $(1+\sqrt{2})^{n}...
- Luyện tập 3.Chứng minh $16^{n}– 15n – 1$ chia hết cho 225 với mọi n ∈ℕ*.
- Bài tậpBài tập 1.Cho $Sn= 1 + 2 + 2^{2}+... + 2^{n}$và $Tn=...
- Bài tập 2. Cho $Sn=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+...+\frac{1}{2^{n}}$ và $Tn=2-\frac{1}{2^{n}}$ với...
- Bài tập 4.Cho q là số thực khác 1. Chứng minh: $1 + q + q^{2}+... +...
- Bài tập 5.Chứng minh với mọi n ∈ ℕ*, ta có:a) $4^{n}+ 15n – 1$ chia hết cho 9;b)...
- Bài tập 6.Chứng minh $n^{n}> (n + 1)^{n – 1}$với n ∈ℕ*, n ≥ 2.
- Bài tập 7.Chứng minh $a^{n}– b^{n}= (a – b)(a^{n– 1}+ a^{n– 2}b...
- Bài tập 8.Cho tam giác đều màu xanh (Hình thứ nhất).a) Nêu quy luật chọn tam giác đều màu...
- Bài tập 9. Quan sát hình 6.a) Nêu quy luật sắp xếp các chấm đỏ và vàng xen kẽ nhau khi xếp các chấm...
- Bài tập 10.Giả sử năm đầu tiên, cô Hạnh gửi vào ngân hàng A (đồng) với lãi suất r%/năm. Hết...
- Bài tập 11.Một người gửi số tiền A (đồng) vào ngân hàng. Biểu lãi suất của ngân hàng như sau:...
Bình luận (0)