Bài tập 5.Chứng minh với mọi n ∈ ℕ*, ta có:a) $4^{n}+ 15n – 1$ chia hết cho 9;b)...

Phương pháp giải câu hỏi trên sử dụng phương pháp quy nạp toán học.

a) Chứng minh với mọi \( n \in \mathbb{N}^* \), ta có: \( 4^{n} + 15n - 1 \) chia hết cho 9.

- Khi \( n = 1 \), ta có: \( 4^{1} + 15 \times 1 - 1 = 18 \equiv 9 \pmod{9} \).

Giả sử với \( k \) là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta cần chứng minh mệnh đề đó cũng đúng với \( k + 1 \), tức là: \( 4^{k+1} + 15(k+1) - 1 \equiv 9 \pmod{9} \).

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, ta có: \( 4^{k} + 15k - 1 \equiv 9 \pmod{9} \).

Khi đó:

\[
\begin{aligned}
&4^{k+1} + 15(k+1) - 1 \\
&= 4 \times 4^{k} + 15k + 14 \\
&= 4 \times 4^{k} + 60k - 45k + 14 \\
&= 4 \times (4^{k} + 15k - 1) + 15k -1 + 14 \\
&\equiv 4 \times 9 + 9 - 1 + 14 \equiv 9 \pmod{9} \\
\end{aligned}
\]

Vì \( 4^{k} + 15k - 1 \), 45k và 18 đều chia hết cho 9, nên \( 4^{k+1} + 15(k+1) - 1 \) cũng chia hết cho 9. Vậy mệnh đề cũng đúng với \( n = k + 1 \).

Do đó, theo nguyên lý quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi \( n \in \mathbb{N}^* \).

b) Chứng minh với mọi \( n \in \mathbb{N}^* \), ta có: \( 13^{n} - 1 \) chia hết cho 6.

- Khi \( n = 1 \), ta có: \( 13^{1} - 1 = 12 \equiv 6 \pmod{6} \).

Giả sử với \( k \) là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta cần chứng minh mệnh đề đó cũng đúng với \( k + 1 \), tức là: \( 13^{k+1} - 1 \equiv 6 \pmod{6} \).

Theo giả thiết quy nạp, ta có: \( 13^{k} - 1 \equiv 6 \pmod{6} \).

Khi đó:

\[
\begin{aligned}
&13^{k+1} - 1 \\
&= 13 \times 13^{k} - 1 \\
&= 13 \times 13^{k} - 13 + 12 \\
&= 13 \times (13^{k} - 1) + 12 \\
&\equiv 13 \times 6 + 12 \equiv 6 \pmod{6} \\
\end{aligned}
\]

Vì \( 13^{k} - 1 \) và 12 đều chia hết cho 6, nên \( 13^{k+1} - 1 \) cũng chia hết cho 6. Vậy mệnh đề cũng đúng với \( n = k + 1 \).

Do đó, theo nguyên lý quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi \( n \in \mathbb{N}^* \).