Giải bài tập chuyên đề toán lớp 10 cánh diều bài 2 Nhị thức Newton

Hướng dẫn giải bài 2 Nhị thức Newton trong sách Giải bài tập chuyên đề toán lớp 10 cánh diều

Trong trang sách chuyên đề toán lớp 10 cánh diều, bài 2 Nhị thức Newton trang 31 được giải chi tiết và cụ thể. Được biên soạn nhằm hỗ trợ học sinh phát triển năng lực vận dụng trí thức, cung cấp cách hướng dẫn dễ hiểu và chi tiết để các em có thể nắm vững bài học. Mong rằng, thông qua sách này, học sinh sẽ tiếp cận và hiểu sâu hơn về chuyên đề này.

Bài tập và hướng dẫn giải

I. Công thức nhị thức Newton

Hoạt động 1.

a) Chọn số thích hợp cho ? trong khai triển biểu thức sau:

$(a+3)^{3}=C_{3}^{?}a^{3-?}+C_{3}^{?}a^{3-?}b^{1}+C_{3}^{?}a^{3-?}b^{2}+C_{3}^{?}a^{3-?}b^{3}$

Từ đó nêu dạng tổng quát của mỗi số hạng trong khai triển biểu thức $(a + b)^{3}$.

b) Xét biểu thức $(a + b)^{n}$.

Nêu dự đoán về dạng tổng quát của mỗi số hạng trong khai triển biểu thức $(a + b)^{n}$.

Trả lời: Phương pháp giải:a) Để chọn số thích hợp cho ?, ta thấy rằng $(a + 3)^3$ có dạng khai triển nhị thức... Xem hướng dẫn giải chi tiết

 Luyện tập 1. Khai triển biểu thức $(x + 2)^{7}$.

Trả lời: Phương pháp giải:Để khai triển biểu thức $(x+2)^7$, ta sử dụng công thức khai triển Newton như... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Luyện tập 2. Cho n ∈ ℕ*. Chứng minh $C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n}=2^{n}$

Trả lời: Phương pháp giải 2:Chúng ta biết rằng công thức tổ hợp của Newton là $(x+y)^n = C_n^0x^n +... Xem hướng dẫn giải chi tiết

II. Tam giác Pascal

Hoạt động 2. 

Ta đã biết:

$(a+b)^{2}=C_{2}^{0}a^{2}+C_{2}^{1}ab+C_{2}^{2}b^{2}$

$(a+b)^{3}=C_{3}^{0}a^{3}+C_{3}^{1}a^{2}b+C_{3}^{2}ab^{2}+C_{3}^{3}b^{3}$

$(a+b)^{4}=C_{4}^{0}a^{4}+C_{4}^{1}a^{3}b+C_{4}^{2}a^{2}b^{2}+C_{4}^{3}ab^{3}+C_{4}^{4}b^{4}$

$(a+b)^{5}=C_{5}^{0}a^{5}+C_{5}^{1}a^{4}b+C_{5}^{2}a^{3}b^{2}+C_{5}^{3}a^{2}b^{3}+C_{5}^{4}ab^{4}+C_{5}^{5}b^{5}$

Ta sắp xểp những hệ số tổ hợp ở trên như sau:

Giải hoạt động 2 trang 33 Chuyên đề toán lớp 10 cánh diều

Nêu phép toán để từ hai số hạng của dòng trên suy ra được số hạng tương ứng (thể hiện ở mũi tên ↓) ở dòng dưới trong bảng các hệ số nói trên.

Trả lời: Phương pháp giải:Để từ hai số hạng của dòng trên suy ra số hạng tương ứng ở dòng dưới, ta có thể áp... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Luyện tập 3. Sử dụng tam giác Pascal để khai triển:

a) $(x + y)^{7}$;

b) $(x – 2)^{7}$.

Trả lời: Để khai triển $(x + y)^{7}$ và $(x - 2)^{7}$ sử dụng tam giác Pascal, ta sử dụng công thức tổ hợp... Xem hướng dẫn giải chi tiết

III. Hệ số trong khai triển nhị thức Newton

1. Sự biến thiên của dãy hệ số trong khai triển nhị thức $(a+b)^{n}$

Hoạt động 3. Xét dãy các hệ số trong khai triển nhị thức $(a + b)^{4}$ ( Hình 7a) và nhị thức $(a + b)^{5}$ (Hình 7b) sau:

Giải hoạt động 3 trang 34 Chuyên đề toán lớp 10 cánh diều

a) So sánh từng cặp hệ số $C_{4}^{0}$ và $C_{4}^{4};C_{4}^{1}$ và $C_{4}^{3}$ ở Hình 7a.

So sánh từng cặp hệ số $C_{5}^{0}$ và $C_{5}^{5};C_{5}^{1}$ và $C_{5}^{4};C_{5}^{2}$ và $C_{5}^{3}$ ở Hình 7b.

b) Nêu nhận xét về sự tăng giảm của mỗi dãy hệ số:

$C_{4}^{0} C_{4}^{1} C_{4}^{2} C_{4}^{3} C_{4}^{4}$ (trong khai triển (a + b)$^{4}$)

$C_{5}^{0} C_{5}^{1} C_{5}^{2} C_{5}^{3} C_{5}^{4} C_{5}^{5}$ (trong khai triển (a + b)$^{5}$)

Trả lời: Để giải câu hỏi trên, ta sử dụng công thức tổ hợp Newton để tính hệ số của khai triển nhị thức $(a +... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Luyện tập 4. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của:

a) (a + b)$^{2022}$;

b) (a + b)$^{2023}$.

Trả lời: Để tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của $(a + b)^{2022}$ và $(a + b)^{2023}$, ta sử dụng công... Xem hướng dẫn giải chi tiết

2. Hệ số của x$^{k}$ trong khai triển (ax+b)$^{n}$ thành đa thức

Hoạt động 4. Quan sát khai triển nhị thức:

$(ax+b)^{n}=C_{n}^{0}(ax)^{n}+C_{n}^{1}(ax)^{n-1}b+C_{n}^{2}(ax)^{n-2}b^{2}+...+C_{n}^{n-1}(ax)b^{n-1}+C_{n}^{n}b^{n}$

$=C_{n}^{0}a^{n}x^{n}+C_{n}^{1}a^{n-1}bx^{n-1}+C_{n}^{2}a^{n-2}b^{2}x^{n-2}+...+C_{n}^{n-1}ab^{n-1}x+C_{n}^{n}b^{n}$

Nêu công thức tính của $x^{k}$ trong khai triển trên.

Trả lời: Phương pháp giải:Để tính hệ số của $x^{k}$ trong khai triển $(ax+b)^{n}$, ta sẽ sử dụng công thức tổ... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Luyện tập 5. Xét khai triển của (x + 5)4^{15}$.

a) Nêu số hạng chứa x$^{7}$, từ đó nêu hệ số của x$^{7}$.

b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, từ đó nêu hệ số ak của x$^{k}$ với 0 ≤ k ≤ 15.

Trả lời: a) Số hạng chứa x$^{7}$ là $C_{15}^{5}x^{7}x^{5}$. Hệ số của x$^{7}$ là... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập

Bài tập 1. Khai triển các biểu thức sau:

a) (2x + y)$^{6}$;

b) (x – 3y)$^{6}$;

c) (x – 1)$^{n}$;

d) (x + 2)$^{n}$;

e) (x + y)$^{2n}$;

g) (x – y)$^{2n}$;

trong đó n lả số nguyên dương.

Trả lời: Để khai triển các biểu thức đã cho, chúng ta sử dụng công thức tổ hợp Newton như sau:a) $(2x+y)^6 =... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 2. Tính

a) $S= C_{2022}^{0}9^{2022}+C_{2022}^{1}9^{2021}+...+C_{2022}^{k}9^{2022-k}+...+C_{2022}^{2021}9+C_{2022}^{2022}$

b) $T=C_{2022}^{0}4^{2022}-C_{2022}^{1}4^{2021}\times 3+...-C_{2022}^{2021}4\times 3^{2021}+C_{2022}^{2022}3^{2022}$

Trả lời: Để giải bài toán trên, chúng ta sẽ sử dụng công thức tổ hợp và công thức nhồi để rút gọn biểu... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 3. Chứng minh:

$C_{n}^{0}3^{n}+C_{n}^{1}3^{n-1}+...+C_{n}^{k}3^{n-k}+...+C_{n}^{n-1}3+C_{n}^{n}$

$=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}3+...+C_{n}^{k}3^{k}+...+C_{n}^{n-1}3^{n-1}+C_{n}^{n}3^{n}$

với $0\leq k\leq n;k,n\in N$*

Trả lời: Phương pháp giải:Để chứng minh hai đẳng thức trên, ta sẽ sử dụng công thức tổ hợp của Newton:... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 4. Xác định hệ số của:

a) x$^{12}$ trong khai triển của (x + 4)$^{30}$;

b) x$^{10}$ trong khai triển của (3 + 2x)$^{30}$;

c) x$^{15}$ và x$^{16}$ trong khai triển của $(\frac{2x}{3}-\frac{1}{7})^{51}$

Trả lời: Phương pháp giải:a) Để xác định hệ số của $x^{12}$ trong khai triển của $(x + 4)^{30}$, ta áp dụng... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 5. Xét khai triển của $(x+\frac{5}{2})^{12}$

a) Xác định hệ số của x$^{7}$.

b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, từ đó nêu hệ số ak của x$^{k}$ với 0 ≤ k ≤ 12.

Trả lời: Để giải bài toán trên, ta sử dụng công thức khai triển binomial: $(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 6. Xét khai triển của $(\frac{x}{2}+\frac{1}{5})^{21}$

a) Xác định hệ số của x1$^{10}$.

b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, tưr đó nêu hệ số ak của x$^{k}$ với 0 ≤ k ≤ 21.

Trả lời: Để giải bài toán trên, ta sử dụng công thức khai triển của biểu thức $(a+b)^n$. a) Số hạng chứa... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 7. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của:

a) (a + b)$^{8}$;

b) (a + b)$^{9}$.

Trả lời: Để tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của $(a + b)^8$ và $(a + b)^9$, ta sử dụng công thức tổ hợp... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 8. Chứng minh công thức nhị thức Newton bằng phương pháp quy nạp:

$(a+b)^{n}=C_{n}^{0}a^{n}+C_{n}^{1}a^{n-1}b+...+C_{n}^{n-1}ab^{n-1}+C_{n}^{n}b^{n}$ với  n ∈ ℕ*.

Trả lời: Phương pháp giải:- Với n = 1, ta có: $(a+b)^{1}=a+b=C_{1}^{0}a+C_{1}^{1}b$- Giả sử công thức đúng... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 9. Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh:

a) $n^{5}$ – n chia hết cho 5 ∀ n ∈ ℕ*;

b) n$^{7}$ – n chia hết cho 7 ∀ n ∈ ℕ*.

Trả lời: Phương pháp giải:a) Ta cần chứng minh rằng $n^{5}$ - n chia hết cho 5 với mọi n thuộc tập hợp số tự... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 10. Cho tập hợp A = {x1; x2; x3; ... ; xn} có n phần tử. Tính số tập hợp con của A.

Trả lời: Để tính số tập hợp con của tập hợp A có n phần tử, chúng ta có thể sử dụng công thức kết hợp (hay... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 11. Một nhóm gồm 10 học sinh tham gia chiến dịch Mùa hè xanh. Nhà trường muốn chọn ra một đội công tác có ít nhất hai học sinh trong những học sinh trên. Hỏi có bao nhiêu cách lập đội công tác như thế?

Trả lời: Phương pháp giải:Để chọn ra một đội công tác có ít nhất hai học sinh trong 10 học sinh, ta sẽ tính... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 12. Để tham gia một cuộc thi làm bánh, bạn Tiến làm 12 chiếc bánh có màu khác nhau và chọn ra số nguyên dương chẵn chiếc bánh để cho vào một hộp trưng bày. Hỏi bạn Tiến có bao nhiêu cách để chọn bánh cho vào hộp trưng bày đó?

Trả lời: Để giải bài toán này, chúng ta có thể sử dụng kỹ thuật đếm học.Bước 1: Có tổng cộng 12 chiếc bánh và... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 13. Bác Thành muốn mua quà cho con nhân dịp sinh nhật nên đã đến một cửa hàng đồ chơi. Bác dự định chọn một trong năm loại đồ chơi. Ở cửa hàng, mỗi loại đồ chơi đó chỉ có 10 sản phẩm khác nhau bày bán. Biết rằng nếu mua bộ trực thăng điều khiển từ xa, bác sẽ chỉ mua 1 sản phẩm; nếu mua bộ đồ chơi lego, bác sẽ mua 3 sản phẩm khác nhau; nếu mua bộ lắp ghép robot chạy bằng năng lượng mặt trời, bác sẽ mua 5 sản phẩm khác nhau; nếu mua rubik, bác sẽ mua 7 sản phẩm khác nhau; còn nếu mua mô hình khủng long, bác sẽ mua 9 sản phẩm khác nhau. Bác Thành có bao nhiêu cách chọn quà sinh nhật cho con?

Trả lời: Để giải bài toán này, chúng ta sử dụng công thức tổ hợp, ký hiệu $C^n_k$. Để chọn k sản phẩm từ n... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 14. Giả sử tính trạng ở một loài cây được quy định do tác động cộng gộp của n cặp alen phân li độc lập A1a1, A2a2, ..., Anan. Cho cây F1 dị hợp về n cặp alen giao phối với nhau. Tỉ lệ phân li kiểu hình của F2 là hệ số của khai triển nhị thức Newton (a + b)$^{2n}$, nghĩa là tỉ lệ phân li kiểu hình của F2 là $C_{2n}^{0}:C_{2n}^{1}:C_{2n}^{2}:...:C_{2n}^{2n-2}:C_{2n}^{2b-1}:C_{2n}^{2n}$

Cho biết một loài cây có tính trạng được quy định bởi tác động cộng gộp của 4 cặp alen phân li độc lập. Tìm tỉ lệ phân li kiểu hình của F2 nếu cây F1 dị hợp về 4 cặp alen giao phối với nhau.

Trả lời: Phương pháp giải:Để tính tỉ lệ phân li kiểu hình của F2 khi cây F1 dị hợp về 4 cặp alen giao phối... Xem hướng dẫn giải chi tiết
FREE học Tiếng Anh
0.51962 sec| 2268.57 kb