Bài tậpBài tập 1.Khai triển các biểu thức sau:a) (2x + y)$^{6}$;b) (x – 3y)$^{6}$;c) (x –...

Để khai triển các biểu thức đã cho, chúng ta sử dụng công thức tổ hợp Newton như sau:

a) $(2x+y)^6 = C_{6}^{0}(2x)^6 + C_{6}^{1}(2x)^5y + C_{6}^{2}(2x)^4y^2 + C_{6}^{3}(2x)^3y^3 + C_{6}^{4}(2x)^2y^4 + C_{6}^{5}(2x)y^5 + C_{6}^{6}y^6$

b) $(x-3y)^6 = [x + (-3y)]^6 = C_{6}^{0}x^6 + C_{6}^{1}x^5(-3y) + C_{6}^{2}x^4(-3y)^2 + C_{6}^{3}x^3(-3y)^3 + C_{6}^{4}x^2(-3y)^4 + C_{6}^{5}x(-3y)^5 + C_{6}^{6}(-3y)^6$

c) $(x-1)^n = [x + (-1)]^n = C_{n}^{0}x^n + C_{n}^{1}x^{n-1}(-1) + C_{n}^{2}x^{n-2}(-1)^2 + ... + C_{n}^{n-1}x(-1)^{n-1} + C_{n}^{n}(-1)^n$

d) $(x+2)^n = C_{n}^{0}x^n + C_{n}^{1}x^{n-1}2 + C_{n}^{2}x^{n-2}2^2 + ... + C_{n}^{n-1}x2^{n-1} + C_{n}^{n}2^n$

e) $(x+y)^{2n} = C_{2n}^{0}x^{2n} + C_{2n}^{1}x^{2n-1}y + C_{2n}^{2}x^{2n-2}y^2 + ... + C_{2n}^{2n-1}xy^{2n-1} + C_{2n}^{2n}y^{2n}$

g) $(x-y)^{2n} = C_{2n}^{0}x^{2n} + C_{2n}^{1}x^{2n-1}(-y) + C_{2n}^{2}x^{2n-2}(-y)^2 + ... + C_{2n}^{2n-1}x(-y)^{2n-1} + C_{2n}^{2n}(-y)^{2n}$

Để giải chi tiết cần tính toán từng hạng tử của biểu thức, lấy ví dụ với biểu thức a):
$(2x+y)^6 = 2^6x^6 + C_{6}^{1}2^5x^5y + C_{6}^{2}2^4x^4y^2 + C_{6}^{3}2^3x^3y^3 + C_{6}^{4}2^2x^2y^4 + C_{6}^{5}2xy^5 + C_{6}^{6}y^6$

$\Rightarrow (2x+y)^6 = 64x^6 + 6*32x^5y + 15*16x^4y^2 + 20*8x^3y^3 + 15*4x^2y^4 + 6*2xy^5 + y^6$

$\Rightarrow (2x+y)^6 = 64x^6 + 192x^5y + 240x^4y^2 + 160x^3y^3 + 60x^2y^4 + 12xy^5 + y^6$

Các biểu thức còn lại cũng giải tương tự như vậy.

Đáp án:
a) $(2x+y)^6 = 64x^6 + 192x^5y + 240x^4y^2 + 160x^3y^3 + 60x^2y^4 + 12xy^5 + y^6$
b) $(x-3y)^6 = x^6 - 18x^5y + 108x^4y^2 - 324x^3y^3 + 486x^2y^4 - 364xy^5 + 729y^6$
c) $(x-1)^n = x^n - C_{n}^{1}x^{n-1} + C_{n}^{2}x^{n-2} - ... - C_{n}^{n-1}x + (-1)^n$
d) $(x+2)^n = x^n + 2C_{n}^{1}x^{n-1} + 4C_{n}^{2}x^{n-2} + ... + 2^n$
e) $(x+y)^{2n} = x^{2n} + 2n*x^{2n-1}y + n(n-1)x^{2n-2}y^2 + ... + 2n*y^{2n-1} + y^{2n}$
g) $(x-y)^{2n} = x^{2n} - C_{2n}^{1}y + C_{2n}^{2}x^{2n-2}y^2 - ... - C_{2n}^{2n-1}xy^{2n-1} + y^{2n}$