Bài tập 3.Chứng minh:$C_{n}^{...

Phương pháp giải:

Để chứng minh hai đẳng thức trên, ta sẽ sử dụng công thức tổ hợp của Newton: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$.

Áp dụng công thức trên vào hai phần bên trái và bên phải của đẳng thức cần chứng minh, ta có:

Bên trái: $C_{n}^{0}3^{n}+C_{n}^{1}3^{n-1}+...+C_{n}^{k}3^{n-k}+...+C_{n}^{n-1}3+C_{n}^{n}$

$=(3+1)^n = 4^n$

Bên phải: $C_{n}^{0}+C_{n}^{1}3+...+C_{n}^{k}3^{k}+...+C_{n}^{n-1}3^{n-1}+C_{n}^{n}3^{n}$

$=(1+3)^n = 4^n$

Do đó, ta chứng minh được hai phần bên trái và bên phải của đẳng thức ban đầu bằng nhau, từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh là đúng.

Vậy kết quả là: $C_{n}^{0}3^{n}+C_{n}^{1}3^{n-1}+...+C_{n}^{k}3^{n-k}+...+C_{n}^{n-1}3+C_{n}^{n} = C_{n}^{0}+C_{n}^{1}3+...+C_{n}^{k}3^{k}+...+C_{n}^{n-1}3^{n-1}+C_{n}^{n}3^{n} = 4^n$