Bài tập 6.Chứng minh $n^{n}> (n + 1)^{n – 1}$với n ∈ℕ*, n ≥ 2.
Câu hỏi:
Bài tập 6. Chứng minh $n^{n} > (n + 1)^{n – 1}$ với n ∈ ℕ*, n ≥ 2.
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Thị Hạnh
Để chứng minh $n^{n} > (n + 1)^{n-1}$ với $n \in \mathbb{N}^{*}$, $n \geq 2$, ta sử dụng phương pháp quy nạp.- Bước cơ sở: Khi $n = 2$, ta có: $2^{2} > (2 + 1)^{2-1} \Leftrightarrow 4 > 3$. Vậy mệnh đề đúng với $n = 2$.- Bước giả sử: Giả sử mệnh đề đúng với một số nguyên dương $k$ tuỳ ý ($k \geq 2$), tức là $k^{k} > (k + 1)^{k-1}$.- Bước chứng minh: Ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với $k + 1$, tức là $(k + 1)^{k + 1} > [(k + 1) + 1]^{(k + 1) - 1}$. Thay giả thiết vào mệnh đề cần chứng minh, ta có:$k^{k} \times (k + 1)^{k + 1} > (k + 1)^{2k} \Rightarrow k^{k} \times (k + 1)^{k + 1} > [(k + 1)^{2}]^{k} \Rightarrow k^{k} \times (k + 1)^{k + 1} > (k^{2} + 2k + 1)^{k} > (k^{2} + 2k)^{k} = [k(k + 2)]^{k} = k^{k} \times (k + 2)^{k} \Rightarrow (k + 1)^{k + 1} > (k + 2)^{k} = (k + 2)^{(k + 1) - 1}$.Vậy mệnh đề cũng đúng với $n = k + 1$. Theo nguyên lý quy nạp toán học, mệnh đề $n^{n} > (n + 1)^{n-1}$ đúng với mọi $n \in \mathbb{N}^{*}$, $n \geq 2.
Câu hỏi liên quan:
- Câu hỏi:Chia hình vuông cạnh 1 thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, lấy ra hình vuông nhỏ thứ...
- I. Phương pháp quy nạp toán họcHoạt động:Xét mệnh đề chứa biến P(n) : "1 + 3 + 5 + ... + (2n...
- Luyện tập 1.Chứng minh rằng với mọi n ∈ ℕ*ta...
- II. Áp dụngLuyện tập 2.Chứng minh với mọi n ∈ℕ*, $(1+\sqrt{2})^{n}...
- Luyện tập 3.Chứng minh $16^{n}– 15n – 1$ chia hết cho 225 với mọi n ∈ℕ*.
- Bài tậpBài tập 1.Cho $Sn= 1 + 2 + 2^{2}+... + 2^{n}$và $Tn=...
- Bài tập 2. Cho $Sn=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+...+\frac{1}{2^{n}}$ và $Tn=2-\frac{1}{2^{n}}$ với...
- Bài tập 3.Cho $Sn=\frac{1}{1\times 5}+\frac{1}{5\times 9}+\frac{1}{9\times...
- Bài tập 4.Cho q là số thực khác 1. Chứng minh: $1 + q + q^{2}+... +...
- Bài tập 5.Chứng minh với mọi n ∈ ℕ*, ta có:a) $4^{n}+ 15n – 1$ chia hết cho 9;b)...
- Bài tập 7.Chứng minh $a^{n}– b^{n}= (a – b)(a^{n– 1}+ a^{n– 2}b...
- Bài tập 8.Cho tam giác đều màu xanh (Hình thứ nhất).a) Nêu quy luật chọn tam giác đều màu...
- Bài tập 9. Quan sát hình 6.a) Nêu quy luật sắp xếp các chấm đỏ và vàng xen kẽ nhau khi xếp các chấm...
- Bài tập 10.Giả sử năm đầu tiên, cô Hạnh gửi vào ngân hàng A (đồng) với lãi suất r%/năm. Hết...
- Bài tập 11.Một người gửi số tiền A (đồng) vào ngân hàng. Biểu lãi suất của ngân hàng như sau:...
Bình luận (0)