Bài tập 5.Chứng minh với mọi n ∈ ℕ*, ta có:a) $4^{n}+ 15n – 1$ chia hết cho 9;b)...
Câu hỏi:
Bài tập 5. Chứng minh với mọi n ∈ ℕ*, ta có:
a) $4^{n} + 15n – 1$ chia hết cho 9;
b) $13^{n} – 1$ chia hết cho 6.
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Đăng Việt
Phương pháp giải câu hỏi trên sử dụng phương pháp quy nạp toán học. a) Chứng minh với mọi \( n \in \mathbb{N}^* \), ta có: \( 4^{n} + 15n - 1 \) chia hết cho 9.- Khi \( n = 1 \), ta có: \( 4^{1} + 15 \times 1 - 1 = 18 \equiv 9 \pmod{9} \).Giả sử với \( k \) là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta cần chứng minh mệnh đề đó cũng đúng với \( k + 1 \), tức là: \( 4^{k+1} + 15(k+1) - 1 \equiv 9 \pmod{9} \).Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, ta có: \( 4^{k} + 15k - 1 \equiv 9 \pmod{9} \).Khi đó:\[\begin{aligned}&4^{k+1} + 15(k+1) - 1 \\&= 4 \times 4^{k} + 15k + 14 \\&= 4 \times 4^{k} + 60k - 45k + 14 \\&= 4 \times (4^{k} + 15k - 1) + 15k -1 + 14 \\&\equiv 4 \times 9 + 9 - 1 + 14 \equiv 9 \pmod{9} \\\end{aligned}\]Vì \( 4^{k} + 15k - 1 \), 45k và 18 đều chia hết cho 9, nên \( 4^{k+1} + 15(k+1) - 1 \) cũng chia hết cho 9. Vậy mệnh đề cũng đúng với \( n = k + 1 \).Do đó, theo nguyên lý quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi \( n \in \mathbb{N}^* \).b) Chứng minh với mọi \( n \in \mathbb{N}^* \), ta có: \( 13^{n} - 1 \) chia hết cho 6.- Khi \( n = 1 \), ta có: \( 13^{1} - 1 = 12 \equiv 6 \pmod{6} \).Giả sử với \( k \) là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta cần chứng minh mệnh đề đó cũng đúng với \( k + 1 \), tức là: \( 13^{k+1} - 1 \equiv 6 \pmod{6} \).Theo giả thiết quy nạp, ta có: \( 13^{k} - 1 \equiv 6 \pmod{6} \).Khi đó:\[\begin{aligned}&13^{k+1} - 1 \\&= 13 \times 13^{k} - 1 \\&= 13 \times 13^{k} - 13 + 12 \\&= 13 \times (13^{k} - 1) + 12 \\&\equiv 13 \times 6 + 12 \equiv 6 \pmod{6} \\\end{aligned}\]Vì \( 13^{k} - 1 \) và 12 đều chia hết cho 6, nên \( 13^{k+1} - 1 \) cũng chia hết cho 6. Vậy mệnh đề cũng đúng với \( n = k + 1 \).Do đó, theo nguyên lý quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi \( n \in \mathbb{N}^* \).
Câu hỏi liên quan:
- Câu hỏi:Chia hình vuông cạnh 1 thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, lấy ra hình vuông nhỏ thứ...
- I. Phương pháp quy nạp toán họcHoạt động:Xét mệnh đề chứa biến P(n) : "1 + 3 + 5 + ... + (2n...
- Luyện tập 1.Chứng minh rằng với mọi n ∈ ℕ*ta...
- II. Áp dụngLuyện tập 2.Chứng minh với mọi n ∈ℕ*, $(1+\sqrt{2})^{n}...
- Luyện tập 3.Chứng minh $16^{n}– 15n – 1$ chia hết cho 225 với mọi n ∈ℕ*.
- Bài tậpBài tập 1.Cho $Sn= 1 + 2 + 2^{2}+... + 2^{n}$và $Tn=...
- Bài tập 2. Cho $Sn=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+...+\frac{1}{2^{n}}$ và $Tn=2-\frac{1}{2^{n}}$ với...
- Bài tập 3.Cho $Sn=\frac{1}{1\times 5}+\frac{1}{5\times 9}+\frac{1}{9\times...
- Bài tập 4.Cho q là số thực khác 1. Chứng minh: $1 + q + q^{2}+... +...
- Bài tập 6.Chứng minh $n^{n}> (n + 1)^{n – 1}$với n ∈ℕ*, n ≥ 2.
- Bài tập 7.Chứng minh $a^{n}– b^{n}= (a – b)(a^{n– 1}+ a^{n– 2}b...
- Bài tập 8.Cho tam giác đều màu xanh (Hình thứ nhất).a) Nêu quy luật chọn tam giác đều màu...
- Bài tập 9. Quan sát hình 6.a) Nêu quy luật sắp xếp các chấm đỏ và vàng xen kẽ nhau khi xếp các chấm...
- Bài tập 10.Giả sử năm đầu tiên, cô Hạnh gửi vào ngân hàng A (đồng) với lãi suất r%/năm. Hết...
- Bài tập 11.Một người gửi số tiền A (đồng) vào ngân hàng. Biểu lãi suất của ngân hàng như sau:...
Bình luận (0)