27.Chứng minh rằng:a) $kC_{n}^{k}=nC_{n-1}^{k-1}$với 1 ≤ k ≤ n.b)...

Để chứng minh hai công thức trên, ta sử dụng định nghĩa của tổ hợp chập k của n phần tử.

a) Chứng minh rằng $kC_{n}^{k} = nC_{n-1}^{k-1}$ với 1 ≤ k ≤ n.

Ta có công thức tổ hợp chập k của n phần tử: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Nhân cả hai vế với k ta được: $kC_{n}^{k} = k \times \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{kn!}{k(k-1)!(n-k)!} = \frac{n(n-1)!}{(k-1)!(n-k-1)!} = nC_{n-1}^{k-1}$

Vậy ta đã chứng minh được $kC_{n}^{k} = nC_{n-1}^{k-1}$ với 1 ≤ k ≤ n.

b) Chứng minh rằng $\frac{1}{k+1}C_{n}^{k} = \frac{1}{n+1}C_{n+1}^{k+1}$ với 0 ≤ k ≤ n.

Ta cũng sử dụng công thức của tổ hợp chập k của n phần tử.

$\frac{1}{k+1}C_{n}^{k} = \frac{1}{k+1} \times \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n!}{(k+1)!(n-k)!} = \frac{1}{n+1} \times \frac{(n+1)n!}{(k+1)!((n+1)-(k+1))!} = \frac{1}{n+1}C_{n+1}^{k+1}$

Do đó, ta đã chứng minh được $\frac{1}{k+1}C_{n}^{k} = \frac{1}{n+1}C_{n+1}^{k+1}$ với 0 ≤ k ≤ n.